施密特正交化公式如何理解和记忆

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-09-30 23:06 被阅读0次

施密特正交化公式如何理解和记忆
正交化与对角正交化
施密特正交化
线性代数笔记25
格拉姆-施密特正交化说明
正交矩阵
计算错误原因
三角函数基础公式整理
资料分析公式理解记忆
白塞尔公式的理解和记忆

在线性代数课程中，有一个长相比较狰狞的施密特正交化公式。对于初次接触它的同学来讲，如何理解和记忆该公式还是有一定难度的。这部分内容如果和高等数学的相关知识点结合起来，就会相对容易一些。

首先先复习高等数学中有关数量积，也就是内积的相关知识点。

$(a,b)=|a||b|\cos\theta$ ； $(a,a)=|a|^2$ 。

Gram–Schmidt process_副本.png

以两个线性无关的向量 $\alpha1$ 和 $\alpha2$ （红色）为例说明如何实现正交化。令 $\beta1=\alpha1$ ( $\beta1$ 为绿色，为什么绿色的长度和红色不一样？），观察图片不难发现，蓝色虚线所代表的向量正是苦苦寻找的 $\beta2$ (因为它和 $\beta1$ 垂直)，而这个蓝色的向量刚好可由 $\alpha2$ 减去 $\beta1$ （长度不一样就是为了这一步。另外真的不用担心长度，因为最后都会单位化的。）。啰嗦了半天，施密特正交化的思想就是这么简单。
$\beta1=\alpha1;\\ \beta2=\alpha2-\frac{(\alpha2,\beta1)}{(\beta1,\beta1)}\beta1$
先让一个新的 $(\beta1)$ 等于旧的 $(\alpha1)$ ，再让第二个旧的 $( \alpha2)$ 减去第二个旧的在新的上面的投影就会得到第二个新的 $(\beta2)$ ……也就是说 $\frac{(\alpha2,\beta1)}{(\beta1,\beta1)}\beta1$ 这部分是个投影向量(绿色)，因为它可以变形为 $\frac{|\alpha2||\beta1|cos\theta}{|\beta1|^2}\beta1$ 。(化简后就可以看出来了。 $\theta$ 为 $\alpha1$ 和 $\alpha2$ 的夹角）

根据这个原理，不难得出其它相应的公式。如新的 $\beta3$ 等于旧 $\alpha3$ 减去 $\alpha3$ 在 $\beta2$ 的投影向量，再减去在 $\beta1$ 的投影向量。用一句话总结，就是新的向量等于旧向量减去旧的在新的上面投影向量。旧原理讲到这里，那该如何又快又好的记忆呢？

$\beta3=\alpha3-\frac{(\alpha3,\beta2)}{(\beta2,\beta2)}\beta2-\frac{(\alpha3,\beta1)}{(\beta1,\beta1)}\beta1\\ 新\beta3=旧\alpha3-旧\alpha3在\beta2投影-旧\alpha3在\beta1投影$
仔细观察上面的公式，即使不理解施密特正交化原理，也可以很好记忆的。如果把右侧的每一部分认为是用加减符号分割的，那么每一次第一个下笔的符号都是旧的（如上面的第一个下笔的都是 $\alpha3$ ),其余的都是新的并且是一样的（如上面的第二项写完 $\alpha3 $ 后全是 $\beta 2$ )。
归根到底施密特正交化公式就是：旧的不减，新的不来。