备课对于我们来说，像是一个熟悉的陌生人。备吧，好像也就那么点东西，没什么好备的；不备吧，好像心里又空荡荡的，感觉不踏实。
记得刚出来工作时，我就有过很长的一段时间，白天忙完各种工作琐事，晚上回到宿舍后，花上至少一个小时的时间备课。怎么备呢？就是打开课本，对照着教参，逐个字地阅读，跟着一笔一划地写教案。每天如此，不到十二点压根睡不了觉。现在想想，还是有点小感动。
尽管现在对这样的做法不认同，但依然感谢当初的勤奋。因为想要成长，首先就需要接受刚开始的不完美，只要不违反原则，就先做起来，在行动中快速迭代升级；如果你是完美主义，希望万事俱备的时候才动手，那就相当于希望等每个路口都亮绿灯才上路，成长几乎是不可能的事。
比起过去，我们现在要应对的工作琐事的确变得更多了，有些教师甚至多到没时间备课。网上也有不少应景的文章，呼吁让教师能够安静地教书。只是呼吁归呼吁，我们更需要的，或许是如果在现状中寻求突破。备课可以说是工作的一件分内之事，既然时间变得稀缺，那么我们还有另一种选择，就是提高备课的效率。
问题来了，如何提高备课的效率呢？
先来看看效率的公式：
效率=有效工作量÷花费的时间
从公式看，提高备课的效率，有两个基本思路，一个是增加有效的工作量，另一个是减少花费的时间。
1、增加有效的工作量
要想增加有效的工作量，需要先了解备课是用来干什么的。
通常的理解，备课是针对课堂的准备，但是我搜了百度百科后，发现从上面的解释来看，备课的“课”并没有局限于课堂，而是包含一切帮助学生学习数学的教学活动。因此我们在备课时，首选需要把对象放大，除了课堂，还有作业、培辅和测验，这样，我们就可以从更大的格局，来规划自己的教学。
试想一下，假如每个学期给学生发一本新的数学课本，让他们自学，结果会如何？有的学生天资聪颖，或许能学得很好；但是对于当前我面对的学生来说，更大的可能，要么是根本看不懂，进度推不起来；要么是能了解个大概，但是进度缓慢，一个学期估计也学不完。
正因如此，我们教师就有两个存在的价值，一个是帮助学生推动学习进度，二是帮助学生提高学习效率。课的本质就是一个平台，让我们有时间和空间来完成这两件事情。
另外，无论是课堂、作业、培辅还是测验，我们做的事情，其实就是与学生进行沟通。沟通的效率决定了我们教学的效率。
为了提高沟通效率，我们需要做两件事。一件是掌控沟通的方向，让教学走在正确的轨道上。这点并不容易，有时你想让学生关注题目，但是学生揪着题目中的某个字眼想入非非，这时沟通的效率很难起来。另一件是调整沟通的方式，让教学持续得到优化。这点也不简单，有时你辛辛苦苦设计一个活动，学生探索了半天还不知所以，最后发现只要用一个类比就明白了，这时沟通的效率也高不起来。
可以看出，学生的不确定性，是我们提高教学效率最大的挑战。备课的价值，就是让我们制定预案，更好地应对这种不确定性。有的教师备课时，总是纠结于课本中的某些细节，其实教学内容的确定性很强，纠结过久也未必能得到更多的收获；而制定教学预案，能帮助我们不断地适应学生，这对我们来说，就是有效的工作量。
比如在讲《用频率估计概率》时，课本上提到了一个例子：50个同学中，很可能有2个同学生日相同。在集体备课时，有的同事想到让学生举手的方式来验证这一点。我试过的做法是直接和学生打赌：“来打个赌，我敢保证咱们班一定有两个人同月同日生日！”当时学生异常激动地相互问生日，不到10秒就找出这样的两个人。
有的人可能要问：“如果全班都没有这样的两个学生，你怎么办？”不难，我有两个选择。一个是向学生表示惊讶：“你们怎么都不按套路出牌的啊，不好玩！”另一个是向学生表示赞叹：“你们绝对创造了历史，赶紧申请吉尼斯纪录！”两个选择都能帮助我让课堂迅速回归正轨，这就是预案的价值。
2、减少花费的时间
不要误会，减少花费的时间，不是让你选择偷懒不备课，而是让你在备课的过程中，少做重复的无用功。
有的教师在备课时以课时为中心。他们会精打细算地规划，未来的哪几节上新课，哪几节上练习课，哪几节上复习课。如果进展顺利，就开心一下；如果进展不顺利，他们会重新规划接下来的课时。我也有过一段时间这样操作，常常会发现计划赶不上变化，因为在规划课时的过程中，需要对任务的完成时间有个预设，而实际的时间很难和预设的时间匹配，结果有时多出了一截时间，不知道怎么办，有时时间不够，只能拿后面的时间来补。
有的教师在备课时以教学资源为中心。有教材，他们会严格按教材中的流程来开展教学；有学案，他们会以让学生做完和自己讲完为荣。很荣幸，我也有过一段时间这样操作，结果也是计划赶不上变化，因为严守教材的流程和学案的任务，需要对学生的回应有个预设，而学生实际的回应很难和预设的回应匹配，结果很多时候，学生让我感觉“不按套路出牌”，然后我就不知道怎么办了。
多次对比发现，在备课时，最好的做法，是以知识点为中心。
从课程开设的角度看，学生学习数学的目的有两个。一个是培养阅读理解能力，简单讲，就是通过问题的表面看到问题的本质；另一个是锻炼逻辑思维能力，简单讲，就是运用逻辑，从条件出发向结论靠拢，或者从结论向条件靠拢，最终解决问题。为了训练这两个能力，学生需要学习一些数学的基本知识。
也就是说，知识点是数学学习的核心工具，而课时和教学资源是为知识点的学习服务的手段。如果以课时和教学资源为中心，就好比我们纠结于出门旅游到底是坐飞机还是搭客车，却不知道我们为什么要出发去旅游一样。因此，我们更应该以知识点为中心来备课。
那么，如何减少重复的无用功呢？方法是，搞清楚什么是不变的，什么是可变的。
备课中不变的，是知识点的底层逻辑，这是战略层面的事情，决定了教学的方向。既然是不变的，我们就可以集中时间一次研究，然后偶尔做细微的修补就好了。
初中数学所有的知识点，从宏观看，分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域中；从微观看，分布在每一个章节，按照一定的顺序，排列在初中的六本教材中。
要想弄懂知识点的底层逻辑，最好的方式是以章为单位研读教材。有的人可能提倡要多看课程标准，我亲身对比后，还是感觉像我这样平凡的教师，还是从研读教材这种自下而上的方式更容易接受。对于教材，尽管教了多年的北师大版，但是自从看了人教版后，感觉人教版的逻辑性更强，更适合帮助我们理解知识点的底层逻辑。
通过研读教材，我们可以理清知识点底层逻辑的两个组成部分。
一个组成部分是概念以及概念与概念之间的联系。概念对应事物的本质，从定义可以得到，比如平行四边形、概率、方程等等。概念与概念之间的联系，背后体现的是初中的数学知识体系。比如有个同事形象地描述了各种特殊平行四边形之间的联系：“平行四边形有两个孩子，一个是菱形，另一个是矩形。它们在继承了平行四边形所有性格的同时，还有自己个性，比如菱形四边相等和对角线垂直，矩形四角为直角和对角线相等。菱形和矩形又有一个共同的孩子，叫正方形（听着感觉怪怪的），正方形继承了它们的所有性格。”
另一个组成部分是知识点的方法论，包括适用范围和使用方法。适用范围界定了知识点的能力圈，告诉了我们能做什么和不能做什么。使用方法就像说明书，帮助我们切实解决具体的问题。比如勾股定理的方法论包括两点，它的适用范围是直角三角形和三条边，想用就需要先证明有直角三角形存在；它的使用条件是直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以借助这个关系列出方程，解决许多相关的应用题。
备课中可变的，是知识点的学习方式，这是战术层面的事情，可以根据具体情况灵活调整。既然是可变的，我们就不必拘泥于一套执行方案，而应该快速搭建一个行动框架，然后准备多套应对的预案。
行动框架的搭建，需要围绕学生学习的五个核心环节：明确问题、获取新知、形成新知、巩固新知和新知迁移。
第一个环节是明确问题。学生学习数学是用来解决问题的，明确问题是学习的起点。我们可以做的，就是花时间向学生解释问题的来源和本质。
数学学习中的问题通常有两个来源。一个来源是从未遇到过的新问题，我们可以提醒学生先做好心理准备，帮助学生更快进入状态。比如学生在接触概率之前，计算事件的可能性就是新问题，在开讲之间，我会选择先和学生解释：“前面我们学的知识可以分为代数和几何两类，现在请大家换一个头脑，我们准备学一个新的东西，概率。”简单的解释，能帮助学生主动从心理上摆脱旧知识的惯性，同时引入了“概率”的概念，尽管学生不明白什么是概率，但他们会潜意识地带着这个问题来进入新课。
另一个来源是解决旧问题的过程中衍生出来的新问题，我们可以先和学生解释问题的来龙去脉，帮助学生了解问题之间的联系。比如在学习了平行四边形后，可以进一步想平行四边形能否进一步特殊化，由此得到菱形和矩形。在开讲之前，我会选择和学生解释：“上学期我们第一次学习了四边形，把一个普通的四边形进化到了平行四边形，现在有个问题，平行四边形还能不能继续进化呢？”这样解释，能帮助学生理解，菱形和矩形并非新生的概念，而是与前面的知识紧密关联，同时也暗示了学生可以用进化的眼光来理解菱形、矩形、正方形和平行四边形之间的关系。
明确问题之后，是获取新知。遇到问题，我们通常会从记忆中搜索答案，看看过去有没有解决类似问题的成功经验，如果有，就直接拿来再用一次；如果没有，才开始尝试动脑筋思考。思考的本质，就是把头脑中的旧知识重新组合，寻找解决问题的方法。对于新问题而言，思考通常遇到的障碍，一个是用旧知识解决不了，另一个是用旧知识解决太过麻烦，因此新知识的存在就很有必要了。我们可以做的，就是为学生提供合适的资源和环境，让学生能够探索和思考，引导学生找到解决问题的新思路。
比如在讲平行线的判定条件时，课本的开篇是一个工人钉木条的例子。例子是很形象，但是对学生来讲，他们搞不懂为什么突然要关注夹角，为什么夹角和平行在一起了。我的选择，是在黑板上画出两条平行线段，然后和学生提问：“现在有两条直线，你有什么办法能证明它们平行？”学生当时就开始纷纷议论，轮流到黑板上进行各种尝试，基本上是以失败或麻烦告终。尝试完毕，学生意识到这并不是一件简单的事情，这时我就开始介绍课本提供的方法，引入新的思路，三线八角。有了前面失败的尝试，学生都很关心三线八角到底是如何解决问题的。
获取新知后，就到了形成新知。问题解决后，我们需要对新的思路进行梳理，保留有用的，剔除多余的，把它封装成一个新的知识点。这样，当再次遇到类似的问题，我们就能更精确地提取出来解决。
比如在讲平行线的判定时，当学生得出了所有结论后，我会引导学生进行一次总结，最终得出一个知识点：
两条直线平行的判定条件：
1、同位角相等
2、内错角相等
3、同旁内角互补
得出知识点后，学生就能抛开先前探索的束缚，再次轻装上阵学习新知识。如果遇到类似问题，他只要把这个知识点提取出来就行，并不需要重新回想过去的思考过程。
形成新知后，是巩固新知。新知识的提取方式，其实就是“if...then...”。不过，形成新知并不意味着能够轻松地提取出来，因为新的知识点在头脑中的印象毕竟太浅，无法产生强烈的刺激。我们可以做的，就是为学生提供足够多的刻意练习，帮助学生反复强化知识点的提取，从而实现知识点的巩固。
比如平行线判定条件的提取方式，其实就是：
if 需要判定平行，then 寻找相等的同位角或内错角，或互补的同旁内角
学生刚学完时，都能把知识点背得溜溜的，一到做题的时候又懵了，半天动不了笔。尽管安排了一节练习课和复习课，但显然还不够。我的选择是利用课前小测、作业和培辅三个时间，高频提供判定直线平行的题目，帮助学生反复提取这个知识点。慢慢地，学生的速度跟上来，这就说明他们越来越熟练了。
最后一个环节是新知迁移。学习的目的是学以致用，当一个知识点得到巩固时，学生就需要学会用它来解决更有挑战性的问题，也就是我们习惯说的变式。变式通常有两个方向，一个是结合生活情境，学生需要通过题目的表面看出题目的本质；另一个是综合其他知识，学生需要对所学的知识点进行合理分工。我们能做的，就是带领学生阅读问题，培养寻找关键词和关系的意识，理解问题的本质，明确知识点在问题解决中的分工。
比如在讲解题目时，如果看到“在菱形ABCD中”，我通常会问学生：“你能得到什么结论？”这时底下会响声一片：“四边相等，对角线垂直！”如果看到“在RT△ABC中，∠C=90°，D为AB中点”，我会问学生：“直角、中点、直角、中点，你能想到什么知识点？”这时会有学生反应过来：“直角三角形斜边中线等于斜边一半！”如果遇到了握手问题，我会问学生：“题目给出握手次数，要我们求人数，那人数和握手次数之间到底有什么不可告人的秘密？”这时学生会一边笑一边想，我就顺着往下讲。
有了寻找关键词和关系的意识，学生就能够更有方向地锻炼阅读理解和逻辑思考的能力。在多次反复的练习后，我会发现，有时测验中出到平时压根没见过的题目，学生还是可以找到解题的思路。而过去的我，曾经热衷于归纳各种题型，结果常常发现，在测验中只要出现平时没练过的题型，学生几乎都是空白一片。其实，题型是为解题能力服务的，后者才是值得我们关注的重点。
我是尾巴
从上面的描述可以看出，备课其实并非一件轻松的活，但幸运的是，如果能够正确地备课，对我们的教学思路的积累会产生复利效应，起初可能增长缓慢，但是随着时间推移，我们对教学会越来越轻车驾熟，而且效益匪浅。
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