虽然数学家的这种孤独是严重的，数学研究对专心致志的程度要求极高，并且还有不得其解时的痛苦，但数学家成功以后获得的补偿，的确是高层次的。数学家回忆自己在解决难题之后的感受时，一般都强调了在取得突破的时刻，伴随着成功的兴奋心情。有时候虽然直觉首先给出灵感，但是此后他还必须通过答案的细节，实实在在地努力工作。有时，按部就班仔细完成每一个步骤，就能得出精确的结果。在少数情况下，直觉与理性同时到来，或两者齐头并进。然而不论运用哪种模式从事数学研究，对于难题或者重要难题的解——该难题是数学家们感到值得耗费精力的惟一难题（除非要证明某一道题基本上无解），将给数学家带来极不寻常的快乐。
可是使数学家兴奋的是什么东西呢？有一个明显的快乐原因，那就是长期认为无法解决的难题，现在终于有解了。当然还有些其他的奖赏：创建了一个新的数学领域，或发现了迥然相异的数学领域之间的联系。
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