贝叶斯定理

贝叶斯定理

通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。

推导流程

给大家介绍一种容易理解，一辈子都不会忘记的贝叶斯推导流程。贝叶斯公式中A、B事件的发生是有先后关系的。先发生的事件是A，后发生的事件是B，A、B先后顺序是不能颠倒的。

通过三张图讲清楚，贝叶斯公式的推导流程，遇到使用场景我们直接套图就可以。

第一张图：标记已知条件

我们将A事件、B事件分为第一步、第二步。第一步中A1发生的概率是P(A1), A1发生情况下，B事件发生的概率为 P(A1)P(B|A1)，也就是第1条路径的概率。

第二张图：全概率公式推导

同理，A2、A3……An，发生的概率分别记作，P(A2)、P(A3)、P(An)。A2发生情况下发生B的事件发生的概率为 P(A2)P(B|A2)，第1条路径的概率；A2发生情况下发生B的事件发生的概率为P(A3)P(B|A3)，第3条路径的概率；An发生情况下发生B的事件发生的概率为 P(An)P(B|An)，第n条路径的概率。

将第1、2、3……n条路径相加就得到了P(B)发生的概率。也就是我们熟悉的全概率公式：P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+……+P(An)P(B|An)。

第三张图：贝叶斯公式推导

我们知道P(B)发生概率是第1、2、3……n路径相加。在已知P(B)情况下，第1条路径发生概率是多少呢？很简单就是使用第1条路径的概率除以1、2、3……n路径相加之和：

，同理第n条路径发生的概率就是：

，这就是贝叶斯公式。

至此贝叶斯公式的推导流程就已经结束了。什么时候使用贝叶斯公式或者全概率公式呢？简单的总结就是在已知A事件发生的概率的情况下求B事件发生的概率，就用全概率公式；在已经B事件发生的概率的情况下，就某个A事件导致B事件发生的概率时，就用贝叶斯公式。

应用示例

我们通过经典的教科书应用题，套用一下我们的“三张图”，看看好不好使。

某工厂有甲、乙、丙三个车间生成电视机，已知各个车间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，而且各个车间的次品率依次为5%、4%、2%。工厂现在有一批电视机待出厂，问电视机的次品率是多少？在待出厂的电视机中检查出一个次品，它是由甲车间生产的概率是多少？

第一张图：设置已知条件

已知，甲生产的产品P(A1)=25%，甲生产的次品P(B|A1)=5%，次品中甲生产的概率：P(A1)P(B|A1)=25%*5%=0.0125

第二张图：全概率公式

回答待出厂的电视机中次品概率多少？

待出厂的电视机中次品概率等于三个车间生产的次品概率之和。

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25*0.05+0.35*0.04+0.40*0.02=0.0345

第三种图：贝叶斯公式

回答：在待出厂的电视机中检查出一个次品，它是由甲车间生产的概率是多少？

求抽查的次品中是甲车间生产的概率，也就是在知道整体次品概率的情况下计算甲车间生产概率，使用贝叶斯公式计算即可。次品是甲生产的概率

P(A1|B)=0.25*.0.05/(0.25*.0.05+0.35*.0.04+0.40*.0.02)=0.362