一、综述

线段树之所以称为“树”，是因为其具有树的结构特性，这种特性在处理区间问题上具有极高的效率。线段树的逻辑结构如图1所示：

图1

图1中的每一个非叶子子节点，都表示整个序列中的一个子区间；每个叶子节点，都表示序列中的单个元素信息；子节点不断向自己的父亲节点传递信息，而父节点存储的信息则是它所表示的区间的信息的整合。

线段树就是分块思想的树化，或者说是对于信息处理的二进制化——用于达到O(logn)级别的处理速度。而分块的思想，则是可以用一句话总结为：通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成k个所分块与m个单个元素的信息的并(0≤k,m≤sqrt{n})。但普通的分块不能高效率地解决很多问题，所以作为log级别的数据结构，线段树应运而生。

事实上，虽然线段树的时间效率要高于分块，但是线段树在最坏情况下的合并次数大于分块的总合并次数sqrt{n}。

尽管如此，分块的应用范围还是要广于线段树的，因为线段树只能维护带有结合律的信息，例如区间max/min、sum、xor。对于不带有结合律的信息则不易维护，而分块则灵活得多，可以维护很多其他类型的信息。

二、线段树的构造和实现

1、建树与维护

根据二叉树的结构特性，若每个父亲节点的编号i,他的左右孩子的编号分别是2i和2i+1，因此可以写出O(1)复杂度的取孩子函数，如图2所示。

图2

那么根据线段树的服务对象，可以写出线段树的维护函数，如图3所示。

图3

push up操作的目的是为了维护父子节点之间的逻辑关系。当递归建树时，每一个节点都需要遍历一遍，并且计算机中的递归实际意义是先向底层递归，然后从底层向上回溯，所以开始递归之后必然是先去整合子节点的信息，再向它们的祖先回溯整合之后的信息。

对于建树，由于二叉树自身的父子节点之间的可传递关系，所以可以考虑递归建树，并且在建树的同时，应该维护父子节点的关系，如图4所示。

图4

2、区间修改

显然，单点修改是区间修改的一个子问题，即区间长度为1时进行的区间修改操作。

那么对于区间操作，考虑引入一个名叫“lazy tag”（懒标记）的标记——之所以称其“lazy”，是因为原本区间修改需要通过先改变叶子节点的值，然后不断地向上递归修改祖先节点直至到达根节点，时间复杂度最高可以到达O(nlogn)。但当我们引入了懒标记之后，区间更新的期望复杂度就降到了O(logn)，甚至会更低.。

（1）从分块思想上解释如何区间修改：

分块的思想是通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成k个所分块与m个单个元素的信息的并(0<=k,m<=logn)。

那么反过来思考这个问题：对于一个要修改的、长度为l的区间来说，总是可以看做由一个长度为2 ^ logn 和剩下的元素（或者小区间组成）。那么我们就可以先将其拆分成线段树上节点所示的区间，之后分开处理：

如果单个元素被包含就只改变自身，如果整个区间被包含就修改整个区间

（2）懒标记的使用方法

首先，懒标记的作用是记录每次、每个节点要更新的值，即delta,但线段树的优点不在于全记录，而在于传递式记录：

整个区间都被操作，记录在公共祖先节点上；只修改了一部分，那么就记录在这部分的公共祖先上；如果四环以内只修改了自身，那就只改变自身。

毕竟，如果我们采用上述的优化方式的话，我们就需要在每次区间的查询修改时pushdown一次，以免重复或冲突。

对于pushdown而言，实际上就是纯粹的pushup的逆向思维(但不是逆向操作)：

因为修改信息存在父节点上，所以要由父节点向下传导lazy tag

开始回溯时执行pushup,因为是向上传导信息；那我们如果要让它向下更新，就调整顺序，如图5所示。

图5

对于复杂度而言，由于完全二叉树的深度不超过logn，那么单点修改显然是O(logn)的，区间修改的话，由于我们的这个区间至多分logn个子区间，对于每个子区间的查询是O(1)的，所以复杂度自然是O(logn)。

3、那么对于区间查询

图6 图7 图8