考虑范畴C对象的一个空族。那么这个空族的积存在意味着什么？好吧，他就是一个有序对，对于任意其他的有序对，存在唯一的态射，满足一个空条件！简单来讲，空族的积就是对象1，使得所有的对象到这个对象1有唯一的态射。对偶的，有空族的余积。
范畴中的对象1是终的，当任意对象到1有且仅有一个箭头。
范畴中的对象0时初始的，当对象0到任意对象有且仅有一个箭头。
画的还不错嘛。
a.集合范畴中，空集是初始对象，单点集是终对象。这对拓扑空间范畴也成立。
b.群，交换群，向量空间，巴拿赫空间范畴中，零既是初始对象，又是终对象。这个零，对于群就是平庸群，对于向量空间就是零向量。
c.带幺交换环范畴，零环是终对象，整数环是初始对象。
等子，余等子
积的概念定义了一个受限的对象，通过一个给定对象族来描述。现在我么想定义一个受限对象，通过同时包含对象和箭头的数据来描述。
考虑两个箭头，这两个箭头的等子就是一个有序对，（K，k），K是一个对象，k是一个箭头，满足。而且对于别的这样的有序对（M，m），存在一个唯一的态射，n：M--K使得
两个态射的等子如果存在，就在同构下唯一。
证明，由定义，（K，k）（M，m）其实都是等子，所以就存在两个唯一态射，n：M--K，l：K--M使得，于是
，从而
,同理
。显然是一个同构。
由于这种唯一性，可以记f，g的等子为。
如果两个态射有等子，那么等子中的态射是单态。
证明，
对偶的，可以定义余等子，余等子存在时，关于同构唯一，并且使满态，可记为
单个态射与自己的等子就是恒等态射。
范畴C中，假设箭头既是满态又是等子，那么就是一个同构。
证明，
就到这了。等子就是两个态射映射值相等的定义域部分元素的提取。只不过是用态射来表示出来了。
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