今天来说说条件概率和贝叶斯公式，可能有点难，但是很重要。尽量看，能看懂最好，看不懂的话也没有关系，知道其中的含义就行了。
先来看一个问题：
假设人类患某种癌症的概率是0.08%，现在最先进的技术检测患这种癌的正确率是99%，如果小明检测患这种癌，那么他患这种癌症的概率是多少？
凭直觉来说，检测正确率是99%，那么患癌的概率应该也是99%，真的么？这就要理解条件概率和贝叶斯定理才能找到答案了。
假设有事件A和事件B。
P(B|A)表示事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
另外，P(B|A)=P(AB)/P(A)=AB同时发生的概率/A发生的概率
用之前《概率的几种类型》中晴天雨天的例子：
天气：A1晴天，A2雨天
干啥：B1去玩，B2歇着
天气：A1晴天（概率2/3），A2雨天（概率1/3）
干啥：晴天（B1去玩2/3，B2歇着1/3），雨天（B1去玩1/3，B2歇着2/3）
P(B1|A1)表示晴天的前提下，出去玩的概率，应该是2/3。
用公式计算
P(B1|A1)=P(A1B1)/P(A1)
=A1B1同时发生的概率/A1发生的概率
=[(2/3)*(2/3)]/(2/3)=2/3
和上面相等。
所以验证了第一个公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)
这个公式变个形：P(AB)=P(B|A)*P(A)=P(A|B)*P(B)
就得出了贝叶斯定理：P(B|A)=[P(A|B)*P(B)]/P(A)
公式看上去复杂，含义也很简单。
如果想知道A发生的前提下B发生的概率，只需要观察B发生的前提下A发生的概率，以及A、B发生的独立概率。
还是上面的例子：
P(B1|A1)表示晴天的前提下，出去玩的概率，应该是2/3。我们想知道P(A1|B1)，出去玩的情况下是晴天的概率。这个无法直接观察到，但是另外三个因素可以。
P(A1|B1)=[P(B1|A1)*P(A1)]/P(B1)
=晴天的前提下出去玩的概率*晴天的概率/出去玩的概率
分子=晴天的前提下出去玩的概率*晴天的概率
分母=晴天出去玩的概率+雨天出去玩的概率（根据全概率公式）
=(2/3)*(2/3)/[(2/3)*(2/3)+(1/3)*(1/3)]
=4/5
所以，如果一个人出去玩了，那么这一天是晴天的概率就是4/5。
用上面的公式验证一下。
P(AB)=P(B|A)*P(A)=P(A|B)*P(B)
[(2/3)*(2/3)]=[(2/3)*(2/3)]=(4/5)[(2/3)*(2/3)+(1/3)*(1/3)]，都等于4/9
贝叶斯定理之所以有用，是因为我们在生活中经常遇到这种情况：我们可以很容易通过对以往的事情观测直接得出P(A|B)，而P(B|A)则很难直接得出，但我们更关心P(B|A)，贝叶斯定理就为我们提供了从P(A|B)到P(B|A)的通道。
P(A|B)和P(B|A)，一个是先验概率，一个是后验概率。
后验概率 = 先验概率 × 调整因子
比如上面这个例子，我们想知道如果他出去玩，那么这天是晴天的概率是多少，这个很难得直接出。那么可以通过晴天出去玩的概率，以及晴天、他出去玩，这三个概率算出来。
回到最开始的问题。
假设人类患某种癌症的概率是0.08%（即平均1万人有8人患这种癌症），现在最先进的技术检测患这种癌的正确率是99%（患癌检测准确概率99%，不患癌检测准确概率也是99%），如果小明检测患这种癌，那么他患这种癌症的概率是多少？
仅凭直觉判断的话，正确率是99%嘛，那么患癌的概率就是99%，那么可以准备化疗，或者等死了。但是条件概率告诉我们不是这样。
假设A表示小明患癌，B表示检测患癌，那么我们要知道的是P(A|B)，而不是(B)。
根据贝叶斯公式：P(A|B)=[P(B|A)*P(A)]/P(B)
P(B|A)表示患癌的前提下，检测患癌的概率，99%
P(A)表示小明患癌的概率，0.08%
P(B)表示随机一个人被检测患癌的概率，根据全概率公式，有两种可能：
患癌被检测患癌+没患癌被检测患癌=0.08%*99%+99.2%*1%
带入上面的公式P(A|B)=7.34%。
也就是说，即便被检测患癌，小明患癌的概率也只有7.34%，和直觉的99%，天差地别。
如果需要确诊，可以再检测一次，检测正确率就变成了99.99%，带入上面的公式：
P(A|B)=88.9%
正确率大幅提升，所以重大的疾病，最好增加一次诊断来确诊，以便得到更加准确的结果。
条件概率的含义其实是，一件事对另一件事发生的概率有影响。比如普通人患癌的概率是0.08%，如果检测患癌且正确率为99%，那么只是把0.08%这个概率提高了，并不是概率就变成了检测的概率。
再来看一个例子：
假设有一个酒鬼，90%概率出去喝酒，去A、B、C三个酒吧，概率相等30%。还有10%的概率在家
警察去了两个酒吧，没有抓住，然后去了第三个酒吧。问：在第三个酒吧抓住酒鬼的概率。
A 30%
B 30%
C 30%
家 10%
直觉有一个答案是90%，因为警察检查三个酒吧抓住酒鬼的概率是90%，如果前面两个没抓住，那么最后一个抓住的概率就是90%。
其实这是有问题的，警察检查前面两个酒吧的没有抓到酒鬼，抓住酒鬼的概率就变小了。前面两个酒吧检查完之后，警察还是不知道酒鬼在不在酒吧，只知道30%在，10%不在。所以在最后一个酒吧抓住酒鬼的概率就是75%。假设警察知道酒鬼在第三个酒吧，故意先去了前面两个酒吧，那么这时候概率才是90%。
同样也可以用条件概率来计算：
假设时间A代表酒鬼出来喝酒了，B代表酒鬼没被抓到，我们想知道的是，酒鬼没被抓到的前提下，出来喝酒了的概率：
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
P(B|A)表示出来喝酒，没被抓到的概率，1/3
P(A)表示酒鬼出来喝酒的概率，0.9
P(B)表示酒鬼没被抓到的概率，根据全概率公式，包括两种情况：
喝酒没被抓到+没喝酒没被抓到=(9/10)*(1/3)+(1/10)*1=4/10
带入上面的公式，P(A|B)=75%，正确答案应该是75%。
最后，
如果上面都看不懂，那也没关系。你只需要知道，概率是世界运转的才是世界运转的真实状态，直觉以为的概率，大多数时候只是错觉，进而会误导你的判断和行动，做出错误的选择。
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