降维
降维顾名思义就是把数据或特征的维数降低，一般分为线性降维和非线性降维，比较典型的如下：
- 线性降维：PCA(Principal Components Analysis)、LDA(Linear Discriminant Analysis)、MDS(Classical Multidimensional Scaling)，其中PCA我们使用的最多。
- 非线性降维：Isomap(Isometric Mapping)、LLE(Locally Linear Embedding)、LE(Laplacian Eigenmaps) 等。非线性降维中用到的方法大多属于流形学习方法，UMAP就属于流形学习，而tSNE不是。
流形学习
流形学习(Manifold Learning)听名字就觉得非常深奥，涉及微分流行和黎曼几何等数学知识。当然，想要了解流形学习并不需要我们一行一行的去推导公式，通过简单的例子也能够有一个直观的认识。
简单来说，地球表面就是一个典型的流形，在流形上计算距离与欧式空间有所区别。例如，计算南极与北极点之间的距离不是从地心穿一个洞计算直线距离，而是沿着地球表面寻找一条最短路径，这样的一条路径称为测地线。如下面所示的三幅图
流形与测地线
其中第一张图为原始数据点分布，虚线是欧式距离，蓝色实线是沿着流形的真实测地线距离。第二张图是在原始数据点的基础上基于欧式距离构造的kNN图（灰色线条，下面还会具体介绍kNN图），红色实线表示kNN图中两点之间的最短路径距离。第三张图是将流形展开后的效果，可以看到，kNN图中的最短路径距离（红色实线）要略长于真实测地线距离（蓝色实线）。在实际应用中，真实测地距离较难获得，一般可以通过构造kNN图，在kNN图中寻找最短路径距离作为真实测地线距离的近似。
tSNE
tSNE是一种《比 较 简 单》的机器学习算法，可以用以下四个公式表示
tSNE算法
(1)定义了高维空间中任意两点之间观测距离的高斯概率，满足对称性规则。Eq。
(2)引入了困惑的概念作为一个约束，确定最优σ为每个样本。
(3)声明了低维嵌入中点对之间距离的学生t分布。t分布是为了克服嵌入低维时的拥挤问题。
(4)给出了K-L散度损失函数，将高维概率投影到低维概率上，并给出了梯度下降优化中使用的梯度的解析形式。
t分布
看看上面的图，我想说的是 t分布应该提供全局距离信息，因为它们将高维空间中相距较远的点推到低维空间中更远的点。然而，这种良好的意愿被成本函数(KL-divergence)的选择所扼杀。
tSNE的缺点
- 在scRNAseq中，tSNE并不能很好地扩展增加的样本量。添加用FItSNE来加速它会导致大量的内存消耗，使得在计算机集群之外无法进行分析。
- tSNE没有保留全局数据结构，这意味着只有在集群距离内才有意义，而集群之间的相似性并不能保证，因此使用tSNE作为集群不是一个很好的主意。
- tSNE实际上只能嵌入到2维或3维中，即仅用于可视化目的。这对于更现代的FItSNE算法来说仍然是一个问题。
- tSNE执行从高维到低维的非参数映射，这意味着它不利用驱动观察到的集群的特性(也称为PCA维度)。
- tSNE不能直接处理高维数据，在将其插入tSNE之前，通常使用自动编码器或PCA执行预降维。
- tSNE的计算占用了大量的内存，在使用大型perplexity超参数时，这一点变得尤为明显，因为k近邻的初始步长(就像Barnes-Hut过程)变得低效，而且对时间减少也很重要。更现代的FItSNE算法也不能解决这个问题。
tSNE参数的意义：
- seed.use：我们知道计算机产生的随机数都是伪随机数，是利用算法产生的一系列数。因此，需要给函数一个随机值作为初始值，以此基准不断迭代得到一系列随机数。这个初始值就叫做随机种子。
-
tsne.method :Select the method to use to compute the tSNE. Available methods are
tSNE和FIt-SNE。
UMAP
UMAP ，全称Uniform Manifold Approximation and Projection，统一流形逼近与投影，是基于曼和几何代数据的理论框架结构构建的。在处理大数据集时，UMAP优势明显，运行速度块，占用内存小。Etienne Becht等人2019年在Nature Biotechnology上发表的一篇文章将其应用在生物学数据上并分析了UMAP在处理单细胞数据方面的应用和优势。
UMAP应该说是目前最好的降维算法了，现在的10X单细胞的降维图都选择了UMAP，因为其能最大程度的保留原始数据的特征同时降低特征维数。
UMAP与tSNE的区别
- UMAP在高维中使用指数概率分布，但不一定是像tSNE那样的欧氏距离，而是任何距离都可以代入。另外，概率没有归一化。
- UMAP使用二元交叉熵(CE)作为成本函数，而不是像tSNE那样使用K-L散度。
- UMAP使用图拉普拉斯变换分配初始的低维坐标，与tSNE使用的随机正常初始化形成对比。
- UMAP使用随机梯度下降(SGD)代替常规梯度下降(GD)，这既加快了计算速度，又减少了内存消耗。
tSNE和UMAP基本上都包含两个步骤：
- 建立一个图在高维度的带宽和计算指数概率,σ,使用二进制搜索和固定数量的最近的邻居需要考虑。
- 通过梯度下降优化低维表示。第二步是算法的瓶颈，它是连续的，不能是多线程的。由于tSNE和UMAP都执行第二步，所以并不清楚为什么UMAP比tSNE更有效。
UMAP在处理大数据时具有独特的优势
除了运行速度快，内存占用小等特点，UMAP在处理细胞学数据时还有一个大的优势，就是可以反映细胞群体之间分化的连续性和组织性。
tSNE和UMAP
对同一组数据分别进行tSNE和UMAP降维，该数据为多达30万个从8种不同组织富集得到的T细胞和NK细胞的样本，并使用Phenograph聚类把细胞分为6大类，每种颜色代表一种细胞。从图中可以看出，UMAP和tSNE都可以较好地把不同类别的细胞分开。但tSNE倾向于把相同细胞群划分为更多的群，如图显示，黑色圈中CD8 T细胞，在tSNE结果中，群数更多，距离更远。
UMAP参数
- 最重要的参数是 n_neighbors ，近似最近邻居数。它有效地控制了UMAP局部结构与全局结构的平衡，数据较小时，UMAP会更加关注局部结构，数据较大时，UMAP会趋向于代表大图结构，丢掉一些细节。
- 第二个参数是 min_dist，点之间的最小距离。此参数控制UMAP聚集在一起的紧密程度，数据较小时，会更紧密。较大的值会更松散，而将重点放在保留广泛的拓扑结构上。
参考
tSNE的详细算法：https://www.jianshu.com/p/0f93e3a7ae29
UMAP的详细算法：https://www.jianshu.com/p/812bb054e1d5
tSNE与UMAP对比的一个很棒的网站：https://pair-code.github.io/understanding-umap
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