解三角形题型总结

作者: godeea | 来源:发表于2019-09-27 09:55 被阅读0次

解三角形题型总结
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解三角形作为高考中的重要的题型，在高考当中常常是一个小题+一个大题的题量给出。所以涉及到三角形有关的知识点就需要掌握，而且这一块是基础内容。但三角形问题是一个数形结合出题点的题目。同学们需要储备好三角函数、平面向量、三角恒等变形、正余弦定理以及关于数学解题的通性通法。

接下来主要是就解三角形中的7个重要的题型进行阐述。

题型一：直接适用正余弦定理求解三角形的要素

正弦定理Law of the sines: $\displaystyle \frac{a}{sinA} =\frac{b}{sinB} =\frac{c}{sinC} =2R$
余弦定理Law of the cosines: $\displaystyle cosA=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2}}{2bc}$
正余弦定理的适用过程中要注意变形处理。也就是说它的推论。

正弦定理适用范围：两角一边或者两边一对角
余弦定理适用范围：三边已知或者两边一夹角或者两边一对角求边

题型二：判断三角形的形状

判断三角形的形状这一块，由于三角形的分类是按照边与角，判断方法也是从三角形的边与角出发。
从三角形的边判断三角形：也就是要搞清楚边长之间的关系。常常是从平方的角度上进行考虑。公式： $a^{2}+b^{2}>c^{2}$ 及其他的变形

而从三角形的角判断三角形：求出三角形的最大角是关键，然后根据三角函数的知识来判定三角形的角度之间的关系。若存在等角，则是等角对等边，则为等腰三角形。

题型三：三角函数性质与解三角形结合

三角函数的性质这一块，主要是三角函数的诱导公式的引入求角，然后是根据题意求解三角函数的最值问题。当然，最值问题也是给角的一个方面。
三角函数题型相对于直接适用正余弦定理求解难得地方在于，我们要使用三角函数的性质求出三角形的角度。然后在根据适用范围再求出三角形中的要素。

求出三角形中的角，然后根据正余弦定理的适用范围进行选用。

题型四：平面向量与解三角形结合

平面向量是解决数形结合的重要手段之一，而解三角形的结合问题也是数形结合的思想重要结合点。平面向量的共线与垂直的坐标应用可以很好的与三角恒等变形进行结合，而平面向量的线性运算常常是给出共线或者线段成比例的一个重要的契机，平面向量的数量积则是与余弦定理紧紧联系在一起了。

题型五：三角恒等变形与解三角形结合

三角恒等变形在问题处理过程中，常常是需要做到切化弦，以及三角和与差公式，倍角公式的应用。注意推导公式，在授新课的过程中，咱们是从 $cos\left ( \alpha -\beta \right )=cos\alpha \cdot cos\beta +sin\alpha \cdot sin\beta$
这公式推导过来，同时，利用同角三角函数关系，以及三角形中隐藏的关系。
$A+B+C=\pi$
$A=B\Leftrightarrow sinA=sinB$
$sin2A=sin2B\Leftrightarrow A+B=\frac{\pi }{2}OrA=B$
同时注意在三角形中是哥哥角度是相互存在关系，相互制约，特别是在锐角三角形中。