双线性函数
双线性函数
定义:V是数域P上一个线性空间,是V上一个二元函数,即,由都唯一对应于P中一个数
,若有性质:
1.
2.
则称为V上的一个双线性函数
注:双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数
例:
1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数
2.设都是线性空间V上的线性函数,
则是V上的一个双线性函数
3.设是数域P上n维列向量构成的线性空间,,是P上一个n级方阵,令,则是上的一个双线性函数
若设
则
是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数的一般形式
取V的一组基
设
则
令
则成为
度量矩阵
定义:设是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数,是V的一组基,则矩阵
称为在下的度量矩阵
注:取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同
反之,任给数域P上一个n级矩阵
对V中任意向量,及
其中
用定义的函数是V上一个双线性函数
易知在下的度量矩阵即A
故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射
不同基下的双线性函数的度量矩阵
设及是线性空间V的两组基
是V中两个向量
则
若双线性函数在及下的度量矩阵分别为A,B,则
又
故
注:说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同
非退化
定义:设是线性空间V上一个双线性函数,若,,有,则称f非退化
可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化
设双线性函数在基下的度量矩阵为A,则对,有
若向量满足,则,有
故而有非零向量使之成立的充要条件为A退化
故易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵
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