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高等代数理论基础71:双线性函数

高等代数理论基础71:双线性函数

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-21 12:17 被阅读5次

    双线性函数

    双线性函数

    定义:V是数域P上一个线性空间,f(\alpha,\beta)是V上一个二元函数,即\forall \alpha,\beta\in V,由f都唯一对应于P中一个数f(\alpha,\beta)

    \forall \alpha,\alpha_1,\alpha_2,\beta,\beta_1,\beta_2 \in V,k_1,k_2\in P,若f(\alpha,\beta)有性质:

    1.f(\alpha,k_1\beta_1+k_2\beta_2)=k_1f(\alpha,\beta_1)+k_2f(\alpha,\beta_2)

    2.f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=k_1f(\alpha_1,\beta)+k_2f(\alpha_2,\beta)

    则称f(\alpha,\beta)为V上的一个双线性函数

    注:双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数

    例:

    1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数

    2.设f_1(\alpha),f_2(\alpha)都是线性空间V上的线性函数,

    f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta),\alpha,\beta\in V是V上的一个双线性函数

    3.设P^n​是数域P上n维列向量构成的线性空间,X,Y\in P^n​,A​是P上一个n级方阵,令f(X,Y)=X'AY​,则f(X,Y)​P^n​上的一个双线性函数

    若设X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n),Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)​

    A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}​

    f(X,Y)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_iy_j​

    f(X,Y)是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数f(\alpha,\beta)的一般形式

    取V的一组基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​

    \alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}​

    =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X​

    \beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}

    =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y​

    f(\alpha,\beta)=f(\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\sum\limits_{j=1}^ny_j\varepsilon_j)​

    =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_iy_j​

    a_{ij}f(\varepsilon_i,\varepsilon_j),i,j=1,2,\cdots,n

    A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}​

    f(\alpha,\beta)成为f(X,Y)

    度量矩阵

    定义:设f(\alpha,\beta)​是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​是V的一组基,则矩阵

    A=\begin{pmatrix}f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_1,\varepsilon_n)\\ f(\varepsilon_2,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_2,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_2,\varepsilon_n)\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ f(\varepsilon_n,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_n,\varepsilon_2)&\cdots&f(\varepsilon_n,\varepsilon_n)\end{pmatrix}

    称为f(\alpha,\beta)​\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​下的度量矩阵

    注:取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同

    反之,任给数域P上一个n级矩阵

    A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}

    对V中任意向量\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X,及\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y

    其中X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n),Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)​

    f(\alpha,\beta)=X'AY=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_iy_j定义的函数是V上一个双线性函数

    易知f(\alpha,\beta)\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下的度量矩阵即A

    故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射

    不同基下的双线性函数的度量矩阵

    \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n​是线性空间V的两组基

    (\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)C

    \alpha,\beta是V中两个向量

    \alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)X_1​

    \beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)Y_1

    X=CX_1,Y=CY_1

    若双线性函数f(\alpha,\beta)​\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n​下的度量矩阵分别为A,B,则

    f(\alpha,\beta)=X'AY=(CX_1)'A(CY_1)=X_1'(C'AC)Y_1

    f(\alpha,\beta)=X_1'BY_1​

    B=C'AC

    注:说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同

    非退化

    定义:设f(\alpha,\beta)是线性空间V上一个双线性函数,若f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta\in V,有\alpha=0,则称f非退化

    可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化

    设双线性函数f(\alpha,\beta)​在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n​下的度量矩阵为A,则对\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X​,\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y​f(\alpha,\beta)=X'AY​

    若向量\alpha满足f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta\in V,则\forall Y,有X'AY=0

    X'A=0而有非零向量X'使之成立的充要条件为A退化

    故易证双线性函数f(\alpha,\beta)是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵

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