俞正强

花絮：一次高校讲座经历

有一次，一所高校约我去给学校年轻教师作个讲座，讲讲孩子们的数学学习。讲座伊始，我在黑板上写下了“平均数”三个字。问大家：什么是平均数？谁知道？

这么简单的问题，可能把大家吓了一跳。许久，有位老师回答：平均数是代表一组数水平的虚拟数。其要点有两个：一是代表一组数水平，二是虚拟性。

然后我又问了大家一个问题：我们如何将这两个要点让三年级的小朋友明白？

有一位女博士上来回答这个问题：我就用两杯水，一杯高的，一杯低的，然后把两杯倒一样平，告诉同学们“这就是平均数”。

等这位老师说完之后，我问大家：请大家思考，平均数的两个内涵或两个理解要点，在这个过程中获得解决了吗？在座的各位老师脸上开始凝重起来。他们发现这个过程好像在讲平均数，好像又没讲。

在数学教学中，我们基本解决了以下两个问题：

问题一：什么时候需要用平均数？

问题二：怎么得到平均数？

对学生而言，他们关于平均数的学习，主要也是解决两个问题：

问题一：什么情境是要用平均数的？

问题二：平均数的计算公式是总数除以份数吗？

概而言之，记住一个情境、记住一个公式，通过重复应用形成能力。

尝试：小学生如何理解“是什么”

小学生能理解“平均数”吗？如果能，那么，他们是如何理解平均数的呢？

下面，我提供一则案例。我们来讨论三年级小学生是如何理解“平均数”的：

材料：一位二年级老师向同学们了解，跑60米一般需要多长时间？某同学很认真地请父亲帮他记录了几次跑60米的时间（单位：秒）。分别如下：

15 14 12 10 14

他发现几次跑的时间是不一样的。他需要填一个数：

60米，我通常要跑___秒。

教学流程

流程一：

师：我发现这位小朋友填了15，一会儿又把15画掉了，大家能理解他是怎么想的吗？

60米，我通常要跑___秒。

生：15秒虽然是第一次跑，但是，是最慢的一次。

生：他填15是不甘心的。

师板书：最慢，不甘心。

流程二：

师：我发现他又填了10，可又画掉了，你认为他是怎么想的？

60米，我通常要跑___秒。

生：10秒是他最快的，但是他不是每次都能跑出10秒的。

生：万一老师让他跑，他跑不出10秒，会说他是骗人的。

生：不好意思。

师板书：最快，不好意思。

流程三：

师：同学们，问题来了，如果15、10都不合适，大家认为填几是比较合适的？

生：14。

师：理由呢？

生：因为跑出过两次，最有把握。

师板书：14最多，有把握。

流程四：

师：（启发）填14，大家认为这个二年级小朋友会满意吗？

生：不会满意。

师：理由呢？

生：14是次数最多的，但是，14在他的水平中，离真实水平还是偏慢的。

说明：在本次师生交流中，这个讨论环节是十分重要的。老师若在这个环节不做启发，则学生可能会停留于14。若停留于14，则思考便止步于此了。老师没有问14合适吗，而是问这个孩子对14满意吗，其间的差别是将知识判断引向经验判断。这样，引出学生关于与“真实水平”比还是偏慢的判断来。当真实水平这一说法出来后，相应的“超常发挥”与“失常发挥”就出来了。这些生活经验的素材便成了学生思考的力量源泉。

流程五：

师：这位同学说14虽然最多，可是偏慢，大家认为呢？

生：那就填12。

师：12满意吗？

生：只能填12了，虽然 12也偏快一点点。

师板书：12偏快。

说明：讨论至此，学生已经进入了一个十分无奈、郁闷的境地了。只剩下12了，但其实12也不是满意的。因为14偏慢，12偏快，13便呼之欲出了。但 13是学生所不愿讲的。而那个呼之欲出又不愿提及的正是不愤不悱的一种状态。

流程六：

师：同学们，14 偏慢，12 偏快，就没有正好的吗？

生：有，13。

师：那为什么不说？

生：没有啊，没有跑过13啊。

师：能填吗？

生：不能填，要诚实。

师板书：不快不慢，没跑出来过。

说明：讨论至此，平均数的两个特征，即两个内涵已经充分地呈现在学生面前了。这两个理解要点用学生的语言来描述，就是“不快不慢”和“没有跑出来过”。“不快不慢”意味着代表了这组数的真实水平；“没有跑出来过”意味着它的“虚拟性”。“代表水平”与“虚拟”两个特征就这样出来了。

流程七：

师：同学们，13能填吗？

生：不能，没跑出来过。

生：能填，没跑出来过，不等于他跑不出来。

师：什么意思？

生：也许第六次就跑13秒了。

说明：这样的讨论真的很精彩，“没跑出来过，不等于跑不出来”，这是对真实水平与虚拟性的最好理解。小学生就这样以他们自己的方式，用自己的语言来表达他们的理解。

流程八：

师：13很特别。我们来讨论一下 13 这个数与 15、14、12、10、14这五个数之间的关系好吗？

呈现材料：

15···············

14··············

12············

10··········

14··············

师：这些磁扣，能发现13吗？

生：移一移就行了。

生：除一除就行了。

说明：发现13是可以移多补少出来的，发现13是可以除出来的。13与这五个数之间有如此关系：虽然没有却蕴含其中。这是把虚拟性从没有到虚有的体验。

流程九：

呈现如下材料：

60米，我通常要跑15秒。最慢 不甘心

10秒。最快 不好意思

14秒。最多 偏慢

12秒。偏快

13秒。没有跑出来过 不快不慢

师：同学们，这五个数，哪个数你认为最有趣、最特别？

生：13。

师：它特别在哪里？

生：一个没有的数，却最能代表真实水平。

师：这个没有的数，可以怎么得到？

生：（15+14+12+10+14）÷5=13。

师：好，同学们，今天老师要教大家一个数学知识。这个最特别的13，在数学中，我们把它称为 15、14、10、12、14 的平均数。

师板书：平均数。

说明：命名，是概念理解的终结。对平均数的理解是基于学生在生活中遇到的真实水平、超常水平、失常水平的经验，是基于虚拟与不诚实之间的纠结。在这个讨论过程中，学生感觉不到是在学习数学知识，只是在最后一刹那，当教师为这个过程的成果套上“平均数”这件外衣后，才意识到是在学习数学知识。