向量运算的基本性质及证明_线性代数_day3

向量运算的基本性质及证明_线性代数_day3

作者: FANDX | 来源:发表于2020-01-17 06:06 被阅读0次

基本性质

向量的交换律： $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$
向量的结合律： $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$
数量乘的分配率：
- $k(\vec{u}+\vec{v}）=k\vec{u}+k\vec{v}$
- $(k+c)\vec{u}=k\vec{u}+c\vec{u}$
- $(kc)\vec{u}=k(c\vec{u})$
- $l\vec{u}=\vec{u}$

举例证明： $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$

左边式 $k(\vec{u}+\vec{v}）$ 的证明结果

$k(\vec{u}+\vec{v})=k(\begin{pmatrix} u_1\\u_2\\\cdots \\u_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\cdots \\v_n \end{pmatrix})=k\begin{pmatrix} u_1+v_1\\u_2+v_2\\\cdots \\u_n+ v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ku_1+kv_1\\ku_2+kv_2\\\cdots \\ku_n+ kv_n\end{pmatrix}$
右边式 $k\vec{u}+k\vec{v}$ 的证明结果

$k\vec{u}+k\vec{v}=k(\begin{pmatrix} u_1\\u_2\\\cdots \\u_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\cdots \\v_n \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} ku_1\\ku_2\\\cdots \\ku_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} kv_1\\kv_2\\\cdots \\kv_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ku_1+kv_1\\ku_2+kv_2\\\cdots \\ku_n+ kv_n\end{pmatrix}$

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