伴随矩阵的证明　2020-05-18

对任意旋转矩阵 R 和三维向量 v，都有

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这个性质在机器人动力学等很多地方都用得到。有人问这个性质怎么证明，这里提供一个思路。

关键点是把 ()^ 运算符转换成叉乘。我们知道，对于任意

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，总有v^u=v×u。于是 3.png

最后一式利用向量叉乘的旋转变换不变性（参看 Wikipedia）可证，即对于任意

2.png ，总有
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这一点，可以调用空间想象力，从三维几何的角度来理解：v, u 是任意两个三维向量，(v×u) 是一个和 v, u 都垂直、大小为 |v||u|sin(u,v) 的三维向量；将 v, u, v×u 三个向量都经过同一个旋转，它们的相对位姿和模长都不会改变，所以 (Rv) 和 (Ru) 的叉乘仍是 R(v×u)。

参考文章

https://zhuanlan.zhihu.com/p/32765261