连续型随机变量及其概率密度

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-12 22:26 被阅读0次

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例：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。

连续型随机变量及其概率密度

定义：若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积
函数f(x)，使对于任意实数x，有
$F(x)=\int_{-\infty}^x {f(t)} \,{\rm d}t$ 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度．(因为F(x)由f(t)可积所得，故F(x)必然连续)
注意：

若 $f(x)$ 可积，则 $\int_{-\infty}^x {f(t)} \,{\rm d}t$ 必然连续。
若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{-\infty}^x {f(t)} \,{\rm d}t$ 必然可导。
概率密度函数 $f(x)$ 的性质：
(1) $f(x)≥0；$ 这是由于定义，非负性得来的！

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} {f(x)} \,{\rm d}x=1;$
几何意义：介于曲线y=f(x)与x轴之间区域面积是1.

(3) $P\{x_1＜X≤x_2\} =P\{X≤x_2\} -P\{X≤x_1 \}\$
$=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2} {f(x)} \,{\rm d}x$
几何意义:X落在区间(x₁，x₂]的概率等于区间(x₁，x₂]上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积.

(4)若 $f(x)$ 在x₀处连续，则必有F'(x₀)=f(x₀)
若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{-\infty}^x {f(t)} \,{\rm d}t$ 可导，且 $\left( \int_{-\infty}^x {f(t)} \,{\rm d}t \right)'=f(x)$

连续型随机变量的四个特性

(1)连续型随机变量的分布函数F(x)一定连续；
(2)若f(x)在点x₀处连续，则必有F'(x₀)=f(x₀)
(3)设X为连续型随机变量，a为常数，则P{X=a}=0
(4)s设X为连续型随机变量，则
$P\{a<X≤b\}\ =P\{a≤X<b\}\ =P\{a≤X≤b\}=P\{a<X≤b\}\$ $\int_a^b {f(x)} \,{\rm d}x=F(b)-F(a)$
例：设随机变量X具有概率密度
$f(x)=\begin{cases} kx& ,0≤x<3 \\ 2-{x \over 2}& ,3≤x≤4 \\ 0 & ,其他\\ \end{cases}$ (1)求常数k；(2)求X的分布函数F(x);(3)求 $P\{1<X≤{7 \over 2}\}\$
解：（1）

（2）要求X的分布函数F(x),现对X分段讨论。
(1)当x<0时，

F(x)=\int_{-\infty}^{t} {f(t)}{\rm d}t=0;

(2)当0≤x<3时:

F(x)=\int_{-\infty}^{0} {f(t)}{\rm d}t+\int_{0}^{x} {f(t)}{\rm d}t=\int_{0}^{x} {{1 \over 6}t}{\rm d}t={1 \over 12}x^2;

(3)当3≤x<4时,

F(x)=\int_{0}^{3} {f(t)}{\rm d}t+\int_{3}^{x} {f(t)}{\rm d}t=\int_{0}^{x} {{1 \over 6}t}{\rm d}t+\int_{3}^{x}({2-{t \over 2})}{\rm d}t

=-{1 \over 4}x^2+2x-3

(4)当x≥4时，

F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} {f(t)}{\rm d}t=1

(3) $P\{1<X≤{7 \over 2}\}\$ $=F({7 \over 2})-F(1)={41 \over 48}$

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