请教欧拉公式

有二三年级的学生向我请教欧拉公式，这个问题其实对他来说有些超纲，我希望他十年后能重读并看懂我写的答复。

在复变函数论里的欧拉公式表达为e^iθ=cosθ+i sinθ。如果取一个特殊值，令θ=π，代入公式中，可得：e^iπ=cosπ+i*sinπ，（注意这里采用了matlab语言对指数的表达形式，这也是我四十岁上唯一保持精通的语言）即e^iπ=-1+0，简单变换后也就是小学生科普读物中最为熟知的“有史以来最优美的等式”：e^iπ+1=0，这个公式的伟大在于，它沟通了实数域和虚数域，将数学上最重要的5个常数0、1、π、e和i天才般的联系在了一起，并以一种极其简单的方式将数学上不同的分支表达了出来。

0和1，是最简单的两个实数，可以是阴阳和计算机二进制的核心，我们看到的手机短视频，理论上也不过是一堆0和1的数字矩阵，0和1演化万物，是群、环、域的基本元素，是构造代数的基础。任何数与“0”相加都等于它本身，任何数与“1”相乘也都等于它本身，有了0和1，也可以得到其他的数字，是世界的开始吧。

无理数π，隐藏着世界上最完美的平面对称图形——圆。在欧氏几何学和广义相对论中无处不在，有了π，就有了圆函数，也就是三角函数。如果把欧拉公式在三角函数领域用级数的形式展开，就会得到傅立叶变换，会诞生频域和时域对波的世界解答，这是近代微波通信、数字电路的核心。

每个人的数学背景不同，这一点我深有体会。编程不学数学，你大概率会停留在码农的层级无法进化成专家。

我是数学专业毕业，我知道用偏微分方程求解的螺线才是螺丝上三维空间螺线最省力的结构；我知道贝壳上完美的螺线需要用复杂的方程表述；我知道向日葵花心的排列遵循严格的斐波那契数列；我知道Pi的小数点后面蕴含着整个世界，甚至包含完整的莎士比亚全集，最新的电视剧集；我知道组成蜂巢底盘的菱形的钝角为109°28′，所有的锐角为70°32′，这样既坚固又省料，蜂窝结构比其他夹层结构具有更高的强度和刚度，与铆接结构相比，结构效率可提高15%～30%。

我还知道什么形状可以用来镶嵌平面或填充空间。正方形、矩形、三角形、平行四边形还有六边形都能够做到。或许你猜想还有许多其他的多边形同样也能做到，但尝试一番后，你会发现根本不存在这个可能性。五角形、七角形、八角形以及所有的正多边形，都无法做到严丝合缝地镶嵌平面或填充空间。在二维空间，针对上述问题只有17种可能性，在三维空间则有230种可能性。

基础数学对有些人来说意味着普通的几何代数。而对有的人来说，微积分也是小菜一碟。

至少对我个人而言数学思想对我看待世界的影响是革命性的。

基础数学结构可以作为建立更深层次数学结构的基础，也可以用它来简化其他学科里的各种关系。数学是自然科学的皇后，凡是能用数学工具去定性分析的才能成为现代实证的经验科学。

让人难以致信的是，数学却是伪科学，这句话曾经让我抑郁很长时间。

基础的数学已经融入到你的生活经验中了，是生活经验的一部分。我在学习了实变函数后，才知道一根绳子为什么不砍不断，一刀两段，显而易见的事实蕴含着深刻的数学道理。在学习了小波变化后才知道可以在无穷领域中对数据做微观研究。我在学习了现代数据处理后才明白包络分析的伟大。我在学习了黎曼曲线方程后才知道还有更天才的加罗华二十几岁就发明了群论。

当今人类取得了科技的飞速进步，客观来源于16世纪在数学上人类发现了指数。我们可以以不同的量级观察世界，比如2^64次方是一个很大的数，但是通过指数或者类似的数学工具如小波变换等，人类就可以用很小的量去量度较大层级的数据，实现对现实映射的科学合理的简化。

不论你是否热爱数学工具，或不自觉的使用其他非数理性的思想工具去解决现实问题。解决问题的形式有很多种，但是目标总是同样的：那就是压缩或提炼（概括）信息。

扯远了，短短文字中的有效信息量有点密集，没学过高等数学的人大概率听不懂我在说什么，看书去吧。