一、核心概念

不变的

空间永远不变

空间的原点永远不变

空间中的对象（点、元素）永远不变

改变的

改变的只是描述空间的方式

二、论证

1、一维理解

比如一个存放苹果重量的空间，里面放了所有的自然数来表达苹果的重量。
假设有一个苹果叫A，A的重量是一个不会改变的事实，但是描述这个苹果重量的方式却有很多种，每一种描述都是苹果重量的一个测写。
1000g和1kg是一个意思，都真实表达了苹果的重量。
但是我们知道1000g的数值是1kg的1000倍，kg的单位是g的1000倍。

所以单位变大时，数值变小，呈反比。

如果用数值和单位的乘法来表示空间的元素：

数值是元素到原点的距离
单位是元素到原点的单位

2、二维理解

在一维的世界里非常轻松的就能理解，当转换成二维世界呢？
如果要表达，地图上的某一元素（某一点），必须使用2维来表示，类似北纬东经这样表示。假设用（x，y）表示某一点。那么：

x表示了元素在x单位下的投影到原点的距离

y表示了元素在y单位下的投影到原点的距离

假设，现在用一个1米x1米的纸张来表达整个地球，选择这个纸张的中心点为原点，然后1厘米为单位。把整个地球分为100x100个方格。

此时（30，40）就表示（30厘米，40厘米）等于（30x厘米，40x厘米）

那么我们按照一维的思路来分析。30是距离，厘米是单位，这个元素在x单位下的投影到原点的距离为30。

在一维世界中，元素到原点的距离就是数值。可以用向量表示（x）。

在二维世界中，元素到原点的距离也是数值。但是出现了30和40个两个数值，怎么办？扩展一下也用向量表示（x，y）。

利用勾股定理我们可以算出来这个距离是50，单位是厘米。
向量（x，y）本质上是向量（x，0）和向量（0，y）的和。
两个向量求和就是对应元素求和。所以用（x，y）表示两个向量。

向量A+B求和的本质是某个东西，沿着A向量的方向走一定距离后再沿着B向量走一定距离。最终抵达新的位置。

如果要表达一个二维空间，至少要定义两个方向才能表达清楚，且这两个方向不能重合。

为了更好的让人理解且寻找到更多的可用性质，人为的定义单位向量为（1，1）且两个方向互相垂直。

当然人们可以定义一个单位向量为（3，4），这样影响的是距离。
（3，4）的本质是（3，0）+（0，4）。
我们可以用矩阵表示
3 0
0 4
这样的单位向量，其实两个方向还是彼此垂直的。

如何表达一个单位向量是彼此不垂直的空间呢？
3 4
0 4

这样可以表达为：
用（3，4）这个向量来表达一个方向作为x轴的单位投影，按勾股定理计算可知距离为5。用（0，4）这个向量来表达另一个方向作为y轴的单位投影。
则两个方向的夹角是53度，不再是原本的90度垂直了。

此时因为单位向量改变，导致所有的空间的元素的数值都要改变。

现实世界理解为：

原来的单位是g，数值是125，表示为：125g，经过某种变换，引入新的单位p，求在新的单位下的数值是多少？
125g = xp，求x？
假如已知：1g = 0.001p
则可以算出 x = 0.125，即125g = 0.124p。

一维空间中理解为：

原来的单位是0->1的向量A，现在的单位是0->2的向量B。假如原数值为8，可以这样表示：
8A = xB，求x是几？
已知向量和数值呈反比，向量B是向量A的2倍，x应该等于8的1/2，等于4：
8A = 4B

二维空间中可以理解为：

原来的单位是（1，1）的向量A，现在的单位是（3，4）的向量B。假如原数值为（2，6），可以这样表示：
（3，4）A = （x，y）B，求（x，y）的问题。
分析到这里，我们暂时还没有引入求x，y的数学工具，暂时就不求了。

二维矩阵中可以理解为：

原来的单位矩阵A是：
1 0
0 1
现在的单位矩阵B是
3 4
0 4
假如原数值C为
2
6
可以这样表示：
2 1 0
6 0 1
等于
x 3 4
y 0 4
也可以表示为：

CA = VB，求V？
当然也可以单位在前，数值在后来表示。

3、引申结论

我们把用这新的矩阵B来表示C1点的线性变换。线性变换的本质是一个黑盒子，输入一组数据，返回一组数据。返回的数据是输入数据的某种变换。比如输入一个坐标，返回一个新的坐标。新旧坐标具有线性关系。（单位不变，数值改变）
因为运动是相对的，换个角度，也可以理解为，B是一个新的坐标系，问C1这个元素在B这个新的坐标系下的元素怎么表示。（数值不变，单位改变）