多元函数-线性变换

发现对多元函数了解不够充分，所以深入学习一下，使用的书籍是Rudin的《数学分析原理》。鉴于公式很多，就用截图代替，并且给出一些个人理解。

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任何标量域，指的应该就是数域，数域的范围是很大的，专门有域论描述相关的性质，一般使用的是有理数，实数和复数，还有代数整数，代数数，二次数域，n次数域等。欧式空间就是有限维实向量空间，虽然有不同的构造，但是是同构的。
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向量空间的定义仅包含了内部元素对加法和数乘的封闭性，一些重要的性质没有提，因为他是从有限维向量空间继承而来的，正如第一句所说，是子空间的定义。
线性组合和生成，这个概念就是线性包，对特定集合中元素间的所有线性运算的封闭集，很常用的构造手段。
线性相关和线性无关，粗略的讲就是几何中的垂直关系，三个向量互相垂直，就是线性无关的。可以考虑正交化方法理解这种垂直关系。
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维度的定义，也很好理解，我们所处的三维空间，任意一点最多可以引出三条互相垂直的向量，就像墙角一样，墙角是正交的，比较特殊，一般只要有夹角就可以了。零空间，他的维数定义为0，因为没有无关集，任意数乘零向量还是零向量，不仅仅是零乘。
可以生成向量空间的无关集就是基，其实就意味着任意的向量可以被表示为无关集中向量的线性组合，一般总会根据这个事实出一些题目。
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表示的唯一性，这个很有意思，如果不唯一，说明零向量可以通过不同形式分解，但是无关性保证了零向量只有一种分解形式。也算是一个独特的理解角度，从一系列备选元素中取出最特殊的一个，就是许多数学定义的自然性由来，范畴论中的万有性质就是由此而提出的。坐标和向量是表示的两个重要方面，根据对偶性，坐标可以视为向量，而向量视为坐标，这就是对偶空间理论的重要观点。
标准基就是常用的单位正交基，性质非常好。解析几何中的向量使用的往往就是这种基。
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直观上看，生成所用的向量可能相关，可能无关，无关的数目小于等于向量个数。
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很多证明充满了技术感，这种技术是另一种直观，和理解上的直观非常不同，可惜一般没有这种证明技术课程，所以人们害怕证明，就像一种外语。对于不同的人而言，这种语言差别也很大，所以往往互相之间很难看懂。如果能心领神会就好了。这个证明很难看懂，就不分析了。关键部分是构造一个集合列搞清楚这个，剩下的就容易了。
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对定理的运用，无关性迫使等号成立。
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这个定理讨论了维数和无关集向量个数的关系，很直观。
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线性变换的定义，对向量的线性作用。
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说明了线性变换的本质，是对基变换的线性扩张，后面的公式在各种线性代数证明中是常用的。
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线性算子就是向量空间到自身的变换。可逆性就是逆的存在条件，一般来说是通过同构定义的，同时具有左逆和右逆，这个条件很强，在一般情况下和单射满射等价，但是对于无穷维情形，会出现在稠子集上成立而全空间上不成立的情形，就不等价了。
算子和逆算子，本质上是同构关系，恒等映射。
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很好理解，线性变换的基本单元是空间的基，把所有基的映射关系确定了，线性变换就唯一了，由于A是满射，所以每一个基至少对应一个基，也就是单的，或者1-1的。写出来后可能看不懂。
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线性变换的集合，也就是通常的矩阵运算，包括线性运算，乘积运算，还有范数不等式，最后这个是在泛函分析中常用的公式。Rudin是泛函分析的大师，所以出现一些看起来超纲的内容也很自然。
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这三个结果，一个是有界线性算子的连续性，一个是三角不等式，一个是范数的次乘积性，都是泛函分析中的内容。
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既然引入了度量结构，那就需要考虑收敛性了。可逆线性算子的集合，也就是可逆矩阵的集合，第一个不了解有什么用，估计是某些证明的要求，后一个就是取逆运算的连续性。
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矩阵的引入，就是线性变换对应于特定的基的表示。所以如果没有指明基的话，矩阵是无法写出的。
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意思应该是指

这些列就是映射后的向量的坐标，这些向量就张成了值域。
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又是一个线性扩张，从单个向量拓展为多个向量的线性组合，使用张量记号比较方便。

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线性变换和矩阵，在选定了基的情况下是一一对应的，换基之后，矩阵也会随之变化。
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矩阵乘法和线性变换乘法的对应关系
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二范数，算子范数不大于二范数
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矩阵的连续性和所有矩阵元的连续性一致，度量空间这个词用的抽象，其实就是为了说明连续性而引入的。，参数索引函数列。