说说骰子游戏里的鞅策略

在本科上随机过程的时候，林海老师提过这么一小段，假设在赌场里有这么一种游戏，投骰子，赌场是庄家。一个普通的骰子，闲方投入1元，猜大小，闲方猜大，投到456的话，连本带利还给闲方2元。如果投到123，闲方这1元便算是打了水漂了。

那么，鞅策略是什么，鞅策略就是，首回合，闲方投入1元，赢了便罢了，第二回合继续投入1元。要是首回合输了，次回合投入2元，赢了便罢了，第三回合继续投入1元。如果次回合还是输了，第三回合投入4元。总的来说，即是赢了便从头1元起头，输了便加倍投。这样，哪怕前面n-1轮全部猜错，第n轮闲方能猜中，闲方投入的2^{(n-1)元便能收回2}n元，而所有n轮的投入为2^n-1元，仍然可以赚到这1元。

是不是看上去有点完美？其实不然，首先，这个策略受闲方资金水平的影响极大，而且是指数级影响。坚持1轮鞅策略所需要的初始资金为1元，2轮鞅策略所需要的初始资金为3元，以此类推，闲方要坚持10轮鞅策略所需要的初始资金为1023元。其次，虽然每一轮鞅策略赚到1元的概率极高，但是每一次落在失败概率里的时候，闲方的损失却是从50%-100%。好比，闲方初始资金为1023元，在前9轮闲方已经总共投入了511元，按照鞅策略，第10轮闲方应该投入512元，这样，第10轮闲方若获胜，闲方将得利1024元，弥补闲方10轮总投入1023元后，闲方的总利润是1元，但是但凡闲方输了，闲方的损失就是1023元，100%全部损失。

损失100%的概率，恰恰与闲方在决定参加这个游戏前所准备投入的资金，和准备获取多少利润才收手的计划密切相关。现在让我们回到真实世界，赌场里往往是一个100面带小数的骰子，庄家占50.5%得胜概率，而闲得胜概率为49.5%。

首先，闲方的资金越充足，赚1元的概率越高。假设闲方初始资金有10元，闲方仅可以总共坚持2轮鞅策略，也就是说，闲方可以承受前1轮都猜错的情况，换言之，闲方能赚到1元的概率为74.50%，而当闲方有初始资金100元时，闲方能支持5轮鞅策略，赚到1元的概率就上升到了96.72%，而当闲方有初始资金1000元的时候，闲方能支持8轮鞅策略，赚到1元的概率就已经高达99.58%。

其次，闲方的胃口越大，血本无归的概率越高。假设闲方初始资金固定1000，闲方想通过鞅策略赚取1%的利润，成功率为95.85%，而想通过鞅策略赚取5%的利润时，成功率已经降为80.9%，而想通过鞅策略赚取10%的利润时，成功率已经降为65.45%。更不用说失败时的期望收益是-50%至-100%。这很容易理解，你期望赚得越多，你进行的回合数便越多，最坏结果发生的概率便会上升。这个游戏的吊诡之处在于，按照鞅策略，希望赚取100%利润时的成功率已不足2%，竟然远不如直接首轮投入1000元，那赚取100%的概率还高达49.5%。

结论，想用鞅策略在骰子上赚钱，有这么几点比较重要。最重要的是，好运气，因为无论如何计算，期望收益是低于0的，作为风险厌恶者，最好的办法就是不要参与。其次就是大本金做后盾但是小资金投入，小利润收手。