趣味数学：恰有70个约数的70的倍数共有多少个？

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-05 10:48 被阅读0次

问题很简洁：所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？

对这个简洁的问题，可以简明扼要地回答：

70 有三个质因数： $70=2\times5\times7$

整数的约数个数可以用以下方法计算：将所有质因数的指数加 $1$ 之后再相乘，就得到这个整数的约数的个数.

所以，如果一个整数恰有 $70$ 个约数，那它的质因数一定是 $3$ 个，不能多也不能少，而且这 $3$ 个质因数的指数分别是 $1,4,6$ ; 也就是说，它可以表示为： $a^1b^4c^6$ ;

另一方面，这个整数是 $70$ 的倍数，它必定可以被 $2,5,7$ 整除；所以，满足条件的整数的质因数就是 $2,5,7$ , 这样的数共有 $6$ 个：

$2^1\times5^4\times7^6$

$2^1\times7^4\times5^6$

$5^1\times2^4\times7^6$

$5^1\times7^4\times2^6$

$7^1\times2^4\times5^6$

$7^1\times5^4\times2^6$

这是初等数论中一个典型的问题，对于中学生来说，难度不算高。然而，如何让五年级的小学生所这事整明白，就有讲究了。以下是笔者的一些尝试。

先讨论一下应用题：

面馆的口味有几种？

有一家面馆推出了定制服务。为顾客提供了如下三个选择项。
（A）辣椒有以下4种选择：免辣（不加辣椒）、微辣、标准辣、变态辣；
（B）花椒有3种选择：免麻（不加花椒）、微麻、标准麻；
（C）是否加香菜？有2种选择：不加香菜、要加香菜。

问：利用辣椒、花椒和香菜这三个选项，可以搭配出几种不同的个性化口味？

学生已经学过乘法原理，所以很快就得出了结论：面馆的个性化口味共有： $4\times3\times2=24$ （种）

如何计算约数的个数？

我们先从简单的、熟悉的数字开始，再慢慢地提高难度。

问题一： $60$ 的约数有几个？ $100$ 的约数有几个？

问题二： $360$ 的约数有几个？ $12000$ 的约数有几个？

针对问题一，学生能够很快回答。办法就是先写约数，再点约数的个数。

$60$ 的约数包括： $1,2,3,4,5,10,12,15,20,30,60$ ; 共有 $12$ 个；

$100$ 的约数包括： $1,2,5,10,20,25,40,50,100$ ; 共有 $9$ 个；

针对问题二，这办法就不好使了。于是我们回头找规律。

如果用质因数相乘的形式表示，则：

$60=2^2\times3^1\times5^1$

$60$ 的所有约数可以整理成一张表格：

$60=2^0\times3^0\times5^0$	$60=2^1\times3^0\times5^0$	$60=2^2\times3^0\times5^0$
$60=2^0\times3^0\times5^1$	$60=2^1\times3^0\times5^1$	$60=2^2\times3^0\times5^1$
$60=2^0\times3^1\times5^0$	$60=2^1\times3^1\times5^0$	$60=2^2\times3^1\times5^0$
$60=2^0\times3^1\times5^1$	$60=2^1\times3^1\times5^1$	$60=2^2\times3^1\times5^1$

$100$ 的所有约数可以整理成一张表格：

$2^0\times5^0$	$2^1\times5^0$	$2^2\times5^0$
$2^0\times5^1$	$2^1\times5^1$	$2^2\times5^1$
$2^0\times5^2$	$2^1\times5^2$	$2^2\times5^2$

从以上两数就可以归纳出约数个数的规律：

如果一个整数可以表示为两个质因数的幂相乘的形式： $a^mb^n$ ，则它的约数个数为 $(m+1)\times(n+1)$ ;

如果一个整数可以表示为三个质因数的幂相乘的形式： $a^mb^nc^k$ ，则它的约数个数为 $(m+1)\times(n+1)\times(k+1)$ ;

总之，把所有质因数的指数加1后再相乘，就等于这个整数的约数的个数.

掌握了这个方法， $720$ 的约数个数就好算了.

如果用质因数的幂的积来表示，则 $360=2^3\times3^2\times5$ , 所以它的约数个数为： $4\times 3\times 2$ .

这时我们发现，这问题与前面面馆的口味问题高度相似！

用同样的公式，可以计算 $120000$ 的约数个数。因为 $120000=2^6\times3^1\times5^4$ ，所以它的约数个数有 $7\times2\times5=70$ 个

现在回到开头的问题。70 的倍数有无穷多个，我们可以写出比较小的几个。

70 的倍数	约数个数
$70\times1=2^1\times5^1\times7^1$	$2\times2\times2=8$
$70\times2=2^2\times5^1\times7^1$	$3\times2\times2=12$
$70\times3=2^1\times5^1\times7^1\times3^1$	$2\times2\times2\times2=16$
$70\times4=2^3\times5^1\times7^1$	$4\times2\times2=16$
$70\times5=2^1\times5^2\times7^1$	$2\times3\times2=12$
$70\times6=2^2\times5^1\times7^1\times3^1$	$3\times2\times2\times2=12$
$70\times7=2^1\times5^1\times7^2$	$2\times2\times3=12$