趣味数学：恰有70个约数的70的倍数共有多少个？

问题很简洁：所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？

对这个简洁的问题，可以简明扼要地回答：

70 有三个质因数：

整数的约数个数可以用以下方法计算：将所有质因数的指数加 之后再相乘，就得到这个整数的约数的个数.

所以，如果一个整数恰有 个约数，那它的质因数一定是 个，不能多也不能少，而且这 个质因数的指数分别是 ; 也就是说，它可以表示为：;

另一方面，这个整数是 的倍数，它必定可以被 整除；所以，满足条件的整数的质因数就是 , 这样的数共有 个：

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这是初等数论中一个典型的问题，对于中学生来说，难度不算高。然而，如何让五年级的小学生所这事整明白，就有讲究了。以下是笔者的一些尝试。

先讨论一下应用题：

面馆的口味有几种？

有一家面馆推出了定制服务。为顾客提供了如下三个选择项。
（A）辣椒有以下4种选择：免辣（不加辣椒）、微辣、 标准辣、 变态辣；
（B）花椒有3种选择：免麻（不加花椒）、微麻、标准麻；
（C）是否加香菜？有2种选择：不加香菜、要加香菜。

问：利用辣椒、花椒和香菜这三个选项，可以搭配出几种不同的个性化口味？

学生已经学过乘法原理，所以很快就得出了结论：面馆的个性化口味共有： （种）

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如何计算约数的个数？

我们先从简单的、熟悉的数字开始，再慢慢地提高难度。

问题一： 的约数有几个？ 的约数有几个？

问题二： 的约数有几个？ 的约数有几个？

针对问题一，学生能够很快回答。办法就是先写约数，再点约数的个数。

的约数包括：; 共有 个；

的约数包括：; 共有 个；

针对问题二，这办法就不好使了。于是我们回头找规律。

如果用质因数相乘的形式表示，则：

的所有约数可以整理成一张表格：

的所有约数可以整理成一张表格：

从以上两数就可以归纳出约数个数的规律：

如果一个整数可以表示为两个质因数的幂相乘的形式：，则它的约数个数为 ;

如果一个整数可以表示为三个质因数的幂相乘的形式：，则它的约数个数为 ;

总之，把所有质因数的指数加1后再相乘，就等于这个整数的约数的个数.

掌握了这个方法， 的约数个数就好算了.

如果用质因数的幂的积来表示，则 , 所以它的约数个数为：.

这时我们发现，这问题与前面面馆的口味问题高度相似！

用同样的公式，可以计算 的约数个数。因为 ，所以它的约数个数有 个

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现在回到开头的问题。70 的倍数有无穷多个，我们可以写出比较小的几个。

70 的倍数	约数个数

如果它恰有70 个约数，则最右边一栏就应该是：;

这样的数，如果用质因数的幂的积来表示，就应该是这样子：.

互不相同而且都在 这三个数中. 这是一个排列问题，结论就是共有6种情况，清单如下。

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【提炼与提高】

在小学数学竞赛中，数论占据重要地位. 小学阶段的竞赛题，基本上是围绕初等数论中的一些常用结论来命制。整数的约数个数是一个高频考点。

本文想了一些办法，让学生以探究、归纳的方式学习约数的个数的计算方法。供有兴趣的家长和老师参考。

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【更多习题】

以下两题只是修改了一下数字，供学生巩固之用。

（1）所有 110 的倍数中，共有多少个数恰有 110 个约数？

（2）所有 210 的倍数中，共有多少个数恰有 210 个约数？

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