题目

难度：★★★☆☆
类型：数组
方法：动态规划

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给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
注意:

0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 50000.

解答

一维数组类的问题常用动态规划解决。

【定义数组】
由于状态转移时只需要用到上一个状态，因此可以把一维的数组压缩成零维，定义变量cash和hold，用于表示当前尚未持有股票和当前持有股票状态下的累计最大收益。

【初始状态】
第一天尚未持有股票状态，当前累计收益为零，记为cash=0；
第一天持有股票。当前累计收益为-price[0]，记为hold=-price[0]；

【状态转移】
对于之后的每一天：
如果这一天是没有持有股票的状态，那么可能是因为：
（1）最近几天都没有持有股票，这时累计收益继承cash；
（2）刚刚卖出这一天的股票，这时累计收益为hold + prices[i] - fee；
从以上两者中选取最大值，更新当前cash变量。
如果这一天是持有股票状态，可能的原因为：
（1）最近几天都持有这一股票，当前累计收益继承hold；
（2）刚刚买入这一天的股票，这时累计收益为cash - price[i]；
从以上两者中选取最大值，更新当前的hold变量。

【最终状态】
最后，我们返回cash的值即可，因为截至时刻股票一定是卖出的。

我们可以发现，这道动态规划题的特点是，我们定义了两个状态，两个状态之间之间存在着信息交互。

class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices, fee):
        cash, hold = 0, -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            cash = max(cash, hold + prices[i] - fee)
            hold = max(hold, cash - prices[i])
        return cash

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