初中代数（三）：整式

整式概念

整式：单项式与多项式统称整式

单项式：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或者一个字母也是单项式

以下都是单项式：2.5x, -n, vt, -3x²y³, 5, a, x/2, 0
以下不是单项式：2ab/x, x+y, (x+1)/2

系数：字母前面的数字，包括负号
次数：所有字母的指数的和

-3x²y³：系数：-3，次数：5
abc：系数：1，次数：3
m：系数：1，次数：1
5：系数：5，次数：0

多项式：几个单项式的和叫多项式

以下几个都是多项式：t-5, 3x+5y+2z, (1/2)ab-πr², x²+2x+18
以下几个不是多项式：a, -(1/3)x²y

多项式 x²-2x²y+3x-5
多项式中，每个单项式叫做多项式的项，共有4项：x², -2x²y, 3x, -5，多项式的每一项都包括它前面的符号
不含字母的项叫做常数项，常数项 -5
次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，3 次多项式

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项

3ab² 与 -4ab² 就是同类项

与系数无关：5a²b³ 与 -4a²b³ ，系数不同，但是是同类项
与字母顺序无关：5a²b³ 与 -4b³a² 是同类项
几个常数项也是同类项：5, -3, 5/6 是同类项

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，系数相加，字母和字母的指数不变

12x - 20x = -8x
6ab - ba + 8ab = 13ab

整式化简

先去括号，再合并同类项

8a + 2b + (5a - b)
解：原式 = 8a + 2b + 5a - b = 13a + b

(5a - 3b) - 3(a² - 2b )
解：原式 = 5a - 3b - 3a² + 6b = -3a² + 5a + 3b (降幂表示)

整式乘法

整式乘除

• 单项式乘以单项式，系数相乘作为系数，相同字母的指数相加
  4a²x⁵·(-3a³bx²) = -12a⁵bx⁷
• 单项式除以单项式，系数相除作为系数，相同字母的指数相减
  6x³yz ÷ 3xy = 2x²z
• 多项式乘以单项式，先用多项式的每一个项乘以单项式，再把积相加
  (-7x²y)·(2x + 3y²) = -14x³y - 21x²y³
• 多项式除以单项式，先用多项式的每一个项除以单项式，再把商相加
  (4x²y + 2xy²) ÷ 2xy = 2x + y
• 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加
  (3x + 1)(x - 2) = 3x² - 6x + x - 2 = 3x² - 5x - 2

平方差公式

(a + b)(a - b) = a² - b²

公式中的 a，b 可以表示数、单项式、多项式

完全平方公式

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

公式中的 a，b 可以表示数、单项式、多项式

补充（互为相反数的两个数的平方相等）：

(a - b)² = (b - a)²
(-a - b)² = (a + b)²

利用添括号法则进行计算：

(a + 2b - 1)² = [(a + 2b) - 1]²
(2x + y + z)(2x - y - z) = [2x + (y + z)][2x - (y + z)]

因式分解

因式分解与整式乘法是相反方向的变形

整式乘法：将整式乘积展开成多项式

• 单项式乘以单项式，2a²b · 3ab² = 6a³b³
• 单项式乘以多项式，a(m + n) = am + an
• 多项式乘以多项式，(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn

因式分解：将多项式化解成整式乘积

• 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)
• 平方差公式法：a² - b² = (a + b)(a - b)
• 完全平方公式法：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

因式分解的步骤：

1. 有公因式的时候先提取公因式
2. 再利用公式法或十字相乘法分解因式
3. 直到每个多项式都不能再分解为止

a³b - ab = ab(a² - 1) = ab(a + 1)(a - 1)
3ax² + 6axy + 3ay² = 3a(x² + 2xy + y²) = 3a(x + y)²

提公因式法

把 8a³b² + 12ab³c 分解因式：

分析：

1. 多项式中各项系数的最大公约数：4
2. 找多项式中各项的相同字母：a, b
3. 确定相同字母的最低次数：ab²

公因式为：4ab²

8a³b² + 12ab³c
= 4ab²·2a² + 4ab²·3bc
= 4ab²(2a² + 3bc)