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复数就暂时谈到这里，言归正传我们开始继续谈函数。
第一个要谈的是“幂函数”，它是最简单的“基本初等函数”，之后谈“幂函数”的逆运算：“求指数”和“求底数”。
同鞋：纳尼?什么叫做“幂”?我完全给忘掉了。
老湿：那我们就先从“幂”谈起好了。。。
老湿
幂是个什么鬼?
不是翻译的锅
我们经常可以看到这种形式的式子。
叫做
，这个很好理解，“在底下的数”。
叫做
，指数是什么意思呢?意思就是，“在上面的数”。
指：直立；竖起。《鸿门宴》：“头发上指，目眦尽裂。”-《古汉语词典》
你可能觉得非常Low，但是没办法，因为这种运算非常抽象，出现的也很晚，很难找到一个简洁的现实对应物。
并不是翻译的问题，其实在英语中本来就是这个意思。
幂运算
在英文中叫做
，字面上(词根)理解就是“放在右上角的”。
还有一种表示方法是，也就是“序号”；当然还有用
的，我猜之所以这么用，可能是因为“幂运算”比乘法更强，所以更有
?
这个稍微有新意一点，但用的好像也并不多，主要还是用(指数)，据说这个词是笛卡尔造的。
毫无新意的命名
➣那话说回来，幂是什么意思?
“幂”就是中的c，也就是”幂运算“的结果.
其实也是表示位置关系，“幂”在古代的意思，就是“盖着方巾”，从位置方面描述就是“上面有个东西”。
“幂运算”就是在某数字上面“盖一个数字”。
共巾可以覆物。祭祀以疏布巾冪八尊，以畫布巾冪八彝。-《康熙字典》
➣为什么也叫做“方”？
这个可能就有点类似于“power”了，是一种表意，而不是表位置。
“方”的意思是“一块地”，因为最早最常用的幂运算就是的，就是用来计算“面积”的，这个非常好理解。
所以，“方”和“幂”是一个意思，只是命名逻辑不同的。
可以叫做 “
的
次幂”，也可以叫做“
的
次方”。
<名> 方形， 与 “圆” 相对。《促织》：“形若土狗， 梅花翅， 方首， 长颈。” -《古汉语词典》
到底什么是幂函数？
幂函数就是这种形式的函数。
➣为什么不是？
其实这也是一个函数
这个式子，如果把其中的两个值分别变成
(参数)和
(输出值)，那么它就变成一个函数 。
很显然，从这种式子中可以演化出三种函数 ：“幂函数”，“指数函数”，“对数函数”，它们互为逆运算。
之所以幂函数是幂函数是而不是
，就是因为这个函数，在生活中最常见。
前面提到过，计算“幂”的需求，来源于计算“方”，也就是面积，所以在最初的时候就是固定的，。
在古代，只要种地就会用到这种计算， 所以这个好名字就先被他给占了。
也是幂运算，但就没法用这个名字，只能用
，也就是用函数的
来命名，从这个意义上来讲
也可以叫
。
为什么要学习幂函数？
之前说过，所有的初等函数，都是由基本初等函数，经过运算得来的。
幂函数又是“基本初等函数”中最简单的，自然要从这里开始学起。
幂函数之前好像谈过，为什么还说呢?
之前谈的其实都是“非负次幂整数”的幂函数，也就是当的情况。
现在我们要谈的是非自然的抽象情况，扩展两次，首先是扩展到，也就是加入
；之后扩展到
，也就是加入
。
幂运算法则
扩展到负整数
➣幂运算的意义是什么呢?
一涉及到负数就很抽象了。
非常好理解，他的意思就是
自乘
次也就是
。
但是2自乘负的某次，简直就是不可能的。比如，这到底是什么意思呢?
所以，扩展到负数之后，就没有一个很直观的解释。
探索新的运算规则，最重要的是考虑兼容性，那我们就单纯从运算来解释幂运算。
从兼容性考虑意义
➣幂运算的规则是什么?
最显而易见的规则其实是乘法和除法，因为幂运算本身就是，
就等于
，乘法就是“指数相加”；反之，除法是“指数相减”。
“减法”和“负”是一回事，那么的意思很可能就是除法。
可以用简单的具体例子来验证一下：
的确是没问题的。
为什么
？
余先生在知乎上的回答
余先生的回答，我不赞同，因为太复杂。[1]
是非常自然的推论，不需要花费这么多笔墨。
因为，=
=
，所以为了兼容乘法和幂运算的规则，
只能是
。
幂函数的性质
之所以先讲“幂函数”，也是因为之前，其实我们一直都在接触，所以大部分的性质我们已经知道了。
这里我贴一下教辅上的图片。
幂函数性质
以前没有说过的，主要就是指数为分数时()的图像。
这就是二次函数的反函数，也就是把二次函数的和
互换。
如果限制，那么定义域是
。
二次函数的图像是个抛物线，把这个图像转个角度，自然还是抛物线。
二次函数和其反函数
三次函数的反函数。
三次函数的反函数
根据上面谈到的运算法则，可以把它改写为 。
它可以看成是一个正比例函数和的复合函数。
限制。因为正比例函数要求
，
要求
，复合函数的定义域是两个集合的并集。
所以就是。
函数的复合
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心如止水：阅读 思考 践行
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