论文摘要：内部收益率是项目寿命期内未回收投资的盈利率，是项目经济评价中经常采用的重要指标之一。但在对非常规现金流量项目采用内部收益率法评价时，面临解高次方程和多解选择的难题。文中利用内部收益率本质上决定于项目现金流量本身的特点，对现金流量或其收益率进行变换，得出求解内部收益率的三种修正方法：现金流量转换法、外部收益率法和修正内部收益率法。从而解决了内部收益率无解或者多解选择的问题，并从数学上严格证明了这三种内部收益率的修正方法与一般内部收益率评价法具有一致性。
论文关键词：内部收益率,现金流量,外部收益率,修正内部收益率
内部收益率被普遍认为是项目投资的盈利率，反映投资的使用效率。在项目经济评价指标中，它是最重要的评价指标之一，具有相对于净现值法不需要在计算前确定基准折现率、表现形式直观明了（为一百分数）等优点。但内部收益率的求解复杂，尤其在非常规现金流量项目中，面临解高次方程和无解或多解选择的难题。而随着项目投资主体日益多样化，项目规模不断扩大，项目组成和所处环境日趋复杂，非常规现金流量项目越来越多。如：开始或中途融资的项目；多阶段或多期工程建设项目；现在或将来频繁地更换设备的项目；尤其现在环保意识的提高，项目末期治理该项目带来的环境破坏所需的投入导致末期出现负现金流量的项目等等。因此，有效解决非常规现金流量项目内部收益率的问题具有重要的意义。
1内部收益率的含义
内部收益率（IRR:InternalRateofReturn）是净现值为零时的折现率。即，
或其中
式中：——净现值；——内部收益率；——项目寿命年限；——第t年的现金流入额；——第t年的现金流出额；——第t年的净现金流量。
其经济涵义可理解为：在项目的整个寿命期内按利率(大小等于内部收益率)计算，始终存在着未收回的投资，而在寿命终了时，投资恰好被完全收回；也就是说，在项目寿命期内，项目始终处于“偿付”未被收回的投资的状况，即内部收益率是项目寿命期内没有收回的投资的盈利率。它不是初始投资在整个寿命期内的盈利率，因而它不仅受初始投资规模的影响，而且受项目寿命期内各年净收益大小的影响。内部收益率不是事先外生给定的，是内生决定的——由项目现金流计算出来，它本质上决定于项目的现金流量模式。
2非常规现金流量项目内部收益率法的修正比较
非常规现金流量项目在寿命期内，不仅在期初有资金投入(现金净流出)，在项目的经营过程中还有一次或多次资金投入(现金净流出)，从而使带负号的净现金流量(现金净流出)不仅仅发生在期初，这样在寿命期内净现金流量的正负号变化不只一次。数学上的内部收益率可以视为公式1）的一个根，根据n次多项式的笛卡尔符号法则，实系数的n次多项式，其正实数根的个数一定少于或等于其实系数的符号变换次数。这样，现金流量有多次符号变动，内部收益率可能会有一个或多个解。其中，多解中只有一个解是该项目的内部收益率，通常利用内部收益率的经济含义来判断它。即如果该解是内部收益率，则用该解去求项目寿命期内每年的终值小于0，最后一年等于0来判断，0表示项目0-t年的净现金流量终值，形成递推公式如下：
从以上可看出，非常规现金流量项目的内部收益率，不管是求解还是对IRR的检验判断，计算都很复杂。
2.1非常规现金流量项目内部收益率修正的三种方法
既然内部收益率本质上决定于项目的现金流量，无解或多值由现金流量模式引起，那么解决途径就是对现金流量进行等价转换，消除符号的多次变换，由非常规现金流量变换为常规现金流量。通常的解决办法有：现金流量转换法、外部收益率法和修正内部收益率法。
⑴现金流量转换法（求出的内部收益率用表示）
现金流量转换法的思路是把非常规现金流量转换为常规现金流量统模式。它是将项目现金流量中最后一次出现负净现金流量前的所有正净现金流量按照既定的基准收益率或者折现率等值转换到项目的末期，从而使调整后的现金流量只有一次改变符号的情况，避免了内部收益率无解或者多解情况的发生。接下来的求解同传统现金流量模式中IRR的解法，即直线插入法。用表示现金流量转换法求出的项目内部收益率，当≥i，则项目可以接受；反之，则拒绝。
⑵外部收益率（ERR）法
内部收益率方程，即1）式可改写为：
式中：——第t年的净收益；——第t年的净投资。两端同乘变换得：2）
等式2）意味着每年的净收益以IRR为收益率进行再投资，到n年末历年净收益的终值和与历年投资按IRR折算到n年末的终值和相等。即内部收益率IRR的计算隐含着一个基本假定：项目寿命期内所获得的净收益全部可用于再投资，再投资的收益率等于项目的内部收益率。外部收益率（ERR：ExternalRateofReturn）可以说是对内部收益率的一种修正，它同样假定项目寿命期内所获得的净收益全部用于再投资，所不同的是假定再投资的收益率等于基准折现率。其求解的方程为：
3）
式中：i——基准折现率。3）式不会出现多个正实数解的情况，只有唯一解，这是外部收益率的一大优点。尤其是当净投资是一次性投入，即项目是一次性投资时，计算过程比较简单。如果项目是分期投入，现金流量比较复杂时，仍然存在求解诸如a+ax+ax+…+ax=b(n≥3)的高次方程问题。
用ERR指标评价投资方案经济效果时，需要与基准折现率i比较，其判别准则为：若ERR≥i，则项目可以被接受；反之，则拒绝。
