向量在一组基下的坐标

基向量的权重，一种阐释坐标系的新方法，就是 向量a在基底B组成的向量空间下的坐标，如果A是标准基，就是传统默认的笛卡尔坐标系

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标准基底 和 随意选取的基底
v1 v2 v3 是R3的一组基，则基底的变换矩阵A是[v1,v2,v3]。
向量a在基A下的坐标是b。a是在标准坐标系，b是在基A坐标系。
我们默认用的都是标准坐标系，也就是在标准基底e1,e2组成的变换矩阵下的坐标。

可逆基向量矩阵变换

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一个替补基底变换矩阵的例子

标准基下的a向量在B基坐标系的坐标点，在几何中如何表示呢？

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a映射到b，在两个不同的坐标系下，D代表了基底B坐标系下的映射关系，A代表了标准坐标系下的映射关系！就是这么简单。图中C就是B空间转化矩阵

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所以后面的重点是 选择合适的坐标系的过程
可以看做是两个角度：在默认坐标系下的变换，在B基坐标系下的变换

对矩阵有两种看法，1矩阵是个 映射关系有a点映射到b点，1矩阵是个新的坐标系
b点在新坐标系下的坐标是a，a采用的是新坐标系的坐标值，b采用的是默认坐标系的坐标值

改变坐标系有助于求出变换

如何选择合适的坐标系？也就是如何选择B空间？ 从标准坐标系 旋转后得到新的坐标系？也就是对应的基底B？

选择新的基底，与原基底，在几何上的关系？

标准正交基底的两个条件：标准、正交

标准就是 向量长度永远是1
正交就是 向量积为0

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标准正交基底的特性是
A转置 * A = I(单位矩阵)
A逆 * A = I(单位矩阵)

标准正交基下的坐标

标准正交基才有这个结论c(i) = v(i)x 。 v(i) 张成空间B，c(i)就是在基底B下的坐标，x是在(1,0)(0,1)默认坐标系下向量的坐标

A是nk的矩阵
列向量表示法 Ax = [x1v1(向量) ，x2v2(向量) ，xkvk(向量) ]
行向量表示法 Ax = [v1(向量)x(向量) ...\n v2(向量)x(向量) ...\n vn(向量)*x(向量)]

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计算正交基下到子空间的投影矩阵

也就是说 投影到的平面空间的基恰巧是 标准正交基，才会有下面的公式，但是并没有体现出来，向量分别在默认坐标系 和 新坐标系 分别 的坐标呀！
可能最终的结果是 默认坐标系的结果

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计算镜像变换矩阵

Schmidt过程

have an orthonormal basis for V 翻译：有一个空间V的标准正交基。标准的意思是向量长度为1。

空间中的一组非标准正交基 转化为 标准正交基的过程
用到的知识有:
R2空间，线在另外一条线上的投影的表达式
R3空间，线在另外一个面（标准正交基）上的投影的表达式

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求出来，但是如何使用呢？
矩阵的特征多项式
特征向量组成的特征空间

用符号E标示特征空间 Eigenspace

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Sarrus 法则求3*3矩阵的行列式的值

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可逆和不可逆和零空间的解有什么关系呢？

A可逆，说明A的行列式不为0，说明A是线性无关的，A的零空间有且仅有唯一的值0向量。
A不可逆，说明A的行列式为0，导致可逆算式的分母为0，不存在解，也就是A是线性相关的，A的零空间有很多解。

行列式的大小意味着，面积的缩放系数，为0时代表降维，为1时代表面积不变。

说明特征基有利于构造合适的坐标

将默认坐标系中的Transform，选定新的坐标系，使Transfrom变简单的，这就是特征基的用途，新的坐标系是以特征向量为基，并且C逆TC = D ，会发现，D矩阵特别简单，非对角线的都为0，对角线上的都为特征值。