中心极限定理与正态分布

中心极限定理：

1.大量相互独立的随机变量，在采样次数足够大的时候（一般要超过30次以上），其均值或者和的分布以正态分布为极限，中心极限定理的有趣的地方在于，无论随机变量呈现出什么分布，只要你抽取次数无限大，抽取样本的均值就接近于正态分布。对，mark一下重点就是：1.样本的平均值约等于总体的平均值；2.不管总体是什么分布，但是样本的均值都会围绕在总体的整体平均值周围并呈现正态分布。

eg：比如你投6枚筛子，对每次的6个数求平均xn，则x1--xn的分布就满足与正态分布

那中心极限定理的用处是什么呢？  eg：你要预测总统的一件事情发生的概率，比如查验食品合格率，你只需要抽查部分就可判断整体合格率，这就用到中心极限定理了，因为样本的均值分布是在总体样本的均值附近呈现正态分布，这样你就知道有68%的样本在总体平均值的一个标准差范围内波动，有95%的样本平均值在总体平均值的两个标准误差范围内，99.7%的在总体平均值三个标准差单位内波动，如果一个样本均值与总体均值的差大于三个标准差，那么我们可以说这个样本不属于这个总体，所以这就是我们拿样本均值估计总体均值的原因所在（当然自我感觉其实在计算一下标准差对估计的评估效果会好一点）。

那么什么是标准差？

标准差是用来估计样本波动大小和数据的离散程度

设均数为A，A=（x1+x2+x3+......+xn）/n，那么标准差D=√{[（x1-A)^2+(x2-A)^2+(x3-A)^2+......+(xn-A)^2]/n}，不过现在一般说的是除以n-1。

正态分布：

引于百科：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。好，mark重点就是：如果一个随机变量，不断抽取随机变量，得到的n个值的平均值收敛于n趋向于无穷时候的期望，这个其实也是基于中心极限定理的，所以当n足够大的时候，可以直接用样本均值估计总体均值。

eg：对一个总体抽取n次，总共n个数值面对n个数值求平均值，则即n个数值的平均值趋向于总体平均值

正态分布性质：

1.正态分布呈钟型，主要性质为有68%的样本在总体平均值的一个标准差范围内波动，有95%的样本平均值在总体平均值的两个标准误差范围内，99.7%的在总体平均值三个标准差单位内波动。

2.如果一个随机变量受到许多因素的影响，并且其中任何一个因素都不对其产生决定性影响，那么该随机变量一般都服从正态分布。

3.u一定时，标准差越大，曲线越矮胖，标准差越小，曲线越瘦高。

4.正态曲线下面的面积意义代表变量值落在此区域的概率，所以正态曲线下方面积为1.