概率Probability

概率可以理解为可能性，从0到1之间，0是不可能，1是必然。A事件的概率通常写作P(A):

$P(A)\in [0,1]$

概率经常和随机有关，比如说“随机扔一个骰子，得到3点的概率是多少？”，“随机从班里选一个人，选到男生的概率是多少？”

随机并不一定意味着均等，比如在3这边灌了铅的骰子，投出3的概率就少很多；比如男生多女生少的班级，随机取到女生的概率也会小。

如果接下来可能发生n个事件，我们把这些事件看成一个集合，就叫做概率空间，一般用欧米伽Ω符号表示。比如扔骰子得到随机点数的概率空间就是[1,2,3,4,5,6],共有6个均匀等概率事件。

概率空间中每个事件不一定拥有均等的概率，但所有独立事件的概率之和一定是1。灌了铅的骰子可能出现6点的概率高到60%，那么另外五种点数可能之和一定是40%。

概率是个无限近似概念，比如骰子投出6点的概率是1/6，但不能说投6次就一定会出现一次6，而是说不停的投，投的次数越多，出现点数6的比例越必然接近1/6，实际上可能需要无限次投才能逼近1/6，但无限次本身就是不可能实现的概念。

联合概率Joint Probability

联合概率是事件A和事件B同时满足的概率，和条件概率的区别在于联合概率的分母是整个概率空间1。

如果A和B两个事件是独立的，那么联合概率等于A和B单独概率的乘积，例如两个骰子都投出5点的联合概率就是1/36。联合概率使用 $\cap$ 符号表示，左右两者没有先后关系：

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

当然这个公式也是两个事件满足互相独立的必要条件。

条件概率Conditional Probability

条件概率就是事件A在事件B发生的条件下也会发生的概率。
比如说两个骰子，第一个投出5点的时候，第二个投出5点的概率是多少？这就是条件概率，第一个骰子是条件，也是划定范围 $P(A)$ （划定分数的分母），第二个骰子是满足AB两个事件的概率 $P(A\cap B)$ ，是分子。条件概率的条件B和A用竖线分开，P(A|B)，有公式：