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置信区间 confidence interval

置信区间 confidence interval

作者: Paycation | 来源:发表于2019-06-24 21:47 被阅读0次

预备知识

这里提到的内容可能在其他笔记中有出现,但是考虑到重复能够加深记忆,就这样吧。

随机变量之差的方差

已知条件:
E(x)=\mu_x, E(y)=\mu_y
Var(x)=E((x-\mu_x)^2)=\sigma^2_x, Var(y)=E((y-\mu_y)^2)=\sigma^2_y

另有随机变量z=x+y,那么有:
E(z)=E(x+y)=E(x)+E(y) \Rightarrow \mu_z=\mu_x+\mu_y
这是很好理解的,相当于两个色子的点数相加后的期望,当然是每个色子期望之和。类似的,还有E(x-y)=E(x)-E(y)

比较不那么显然是方差的情况,这里作一个简单说明:
Var(z)=E((z-\mu_z)^2)=E((x+y-(\mu_x+\mu_y))^2)
=E((x-\mu_x)^2+(y-\mu_y)^2-2(x-\mu_x)(y-\mu_y))
=E((x-\mu_x)^2)+E((y-\mu_y)^2)-E(2(x-\mu_x)(y-\mu_y))
=Var(x)+Var(y)
这里的E(2(x-\mu_x)(y-\mu_y))相当于是把随机变量的值累加再减去均值的累加,结果当然是0。因此第三项前面无论是正号还是负号,都不影响结果,因此我们可以说:
Var(x \pm y)=Var(x)+Var(y)
结论:随机变量之差(和)的方差为这些随机变量方差之和。

顺便看一下相反数的情况:
Var(-x)=E((-x-(-\mu_x))^2)=E((-1)^2(x-\mu_x)^2)=Var(x)
结论:随机变量与其相反数方差相等。

样本均值之差的分布

已知条件:
有两个随机变量x,y的某种分布,不一定是正态分布。但是根据中心极限定理,我们可以确定它们的样本均值的抽样分布符合正态分布。
不过这里先假设x \sim(\mu_x, \sigma_x^2), y \sim(\mu_y, \sigma_y^2)

关于抽样分布的参数:
均值:根据中心极限定理,其均值和总体相同,即\mu_{\bar{x}}=\mu_x, \mu_{\bar{y}}=\mu_y
方差:\sigma_\bar{x}^2 = \dfrac{\sigma_x^2}{n}, \sigma_\bar{y}^2 = \dfrac{\sigma_y^2}{m}m,n为样本的大小。

证明:
样本中的元素假设都是独立的x_1, x_2 ... x_n。可以理解把一次抽n个变成每次抽一个,抽n次(有放回地抽取)。因此Var(x_1)=...=Var(x_n)=\sigma都等于总体标准差。记该样本的均值为\bar{x}
Var( \bar{ x })=Var(\dfrac{x_1+...+x_n}{n})=\dfrac{1}{n^2}\sum Var(x_i)=\dfrac{1}{n}\sigma^2

现在来看样本均值之差的分布,为了方便,记这个差值为随机变量z
\mu_z =E(\bar{x}-\bar{y})=E(\bar{x})-E(\bar{y})=\mu_x-\mu_y
\sigma_z^2=Var(\bar{x}-\bar{y})=Var(\bar{x})+Var(\bar{y})=\dfrac{\sigma_x^2}{n}+\dfrac{\sigma_y^2}{m}

均值之差的置信区间

在不同的场合下,置信区间有不同的用法,这里用于均值之差。
有这样一个实验:实验组食用低脂肪食物,对照组食用等量非低脂肪食物。均为100人,一段时间后,实验组体重减少的均值为9.31,标准差4.67。对照组体重减少的均值为7.40,标准差4.04。(假定这里的标准差是无偏的)
由于我们要看的是该种减肥方式对所有人总体的效果,因此测试这部分人只能算作样本,现在,我们是在通过样本估计总体。大部分实验都是这个基本思路。
为了判断低脂肪食物是否真的有减肥作用,我们来观察差值z=x-y的分布情况。其中,x是实验组的随机变量,y是对照组的随机变量。
从抽样的情况看,均值相差:9.31 - 7.40 = 1.91,看起来低脂肪食物是有效的。我们进一步通过置信区间来明确这个有效的程度。
\mu_{\bar{z}} = \mu_{\bar{x}} - \mu_{\bar{y}}
\sigma_{\bar{z}}^2=\sigma_{\bar{x}}^2+\sigma_{\bar{y}}^2
= \dfrac{\sigma_x^2}{n}+\dfrac{\sigma_y^2}{m} (这里n=m=100

但是我们不知道总体的方差。但是我们可以通过一次抽样的无偏估计来估算总体的方差。因此继续:

=\dfrac{S_x^2}{n}+\dfrac{S_y^2}{m}=\dfrac{4.67^2+4.04^2}{100}=0.381305 \Rightarrow \sigma_{\bar{z}}=\sqrt{0.381305}=0.617
于是\bar{z}\sim N(\mu=1.91, \sigma=0.617)

假如我们选择95%置信区间,它的含义就是说,大约在100次抽样中,有95次这个差值会命中我们的这个区间。那么怎么算这个区间呢?
我们已经计算出\bar{z}的分布了,也就是假如我们抽样非常多次,最后的z的概率密度曲线就是我们所计算的那个正态分布的曲线。那么要有95%的命中率,我们当然就应该让这个区间对应的曲线下的面积为95%。
查表可得:在区间[\mu-1.96\sigma, \mu+1.96\sigma]之间的面积是95%,那么我们可以算出:

1.96 \times 0.617 = 1.21
于是我们的置信区间就是 1.91 \pm 1.21,即[0.7, 3.12]。可以看出,在95%的置信水平下,下限也是一个正值,即实验组的减肥效果优于对照组。我们的结论是:该方案有效。

参考资料

可汗学院 https://www.khanacademy.org

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