预备知识
这里提到的内容可能在其他笔记中有出现,但是考虑到重复能够加深记忆,就这样吧。
随机变量之差的方差
已知条件:
。
另有随机变量,那么有:
这是很好理解的,相当于两个色子的点数相加后的期望,当然是每个色子期望之和。类似的,还有。
比较不那么显然是方差的情况,这里作一个简单说明:
这里的相当于是把随机变量的值累加再减去均值的累加,结果当然是0。因此第三项前面无论是正号还是负号,都不影响结果,因此我们可以说:
结论:随机变量之差(和)的方差为这些随机变量方差之和。
顺便看一下相反数的情况:
结论:随机变量与其相反数方差相等。
样本均值之差的分布
已知条件:
有两个随机变量的某种分布,不一定是正态分布。但是根据中心极限定理,我们可以确定它们的样本均值的抽样分布符合正态分布。
不过这里先假设。
关于抽样分布的参数:
均值:根据中心极限定理,其均值和总体相同,即。
方差:,为样本的大小。
证明:
样本中的元素假设都是独立的。可以理解把一次抽n个变成每次抽一个,抽n次(有放回地抽取)。因此都等于总体标准差。记该样本的均值为。
现在来看样本均值之差的分布,为了方便,记这个差值为随机变量:
均值之差的置信区间
在不同的场合下,置信区间有不同的用法,这里用于均值之差。
有这样一个实验:实验组食用低脂肪食物,对照组食用等量非低脂肪食物。均为100人,一段时间后,实验组体重减少的均值为9.31,标准差4.67。对照组体重减少的均值为7.40,标准差4.04。(假定这里的标准差是无偏的)
由于我们要看的是该种减肥方式对所有人总体的效果,因此测试这部分人只能算作样本,现在,我们是在通过样本估计总体。大部分实验都是这个基本思路。
为了判断低脂肪食物是否真的有减肥作用,我们来观察差值的分布情况。其中,是实验组的随机变量,是对照组的随机变量。
从抽样的情况看,均值相差:9.31 - 7.40 = 1.91,看起来低脂肪食物是有效的。我们进一步通过置信区间来明确这个有效的程度。
(这里)
但是我们不知道总体的方差。但是我们可以通过一次抽样的无偏估计来估算总体的方差。因此继续:
于是。
假如我们选择95%置信区间,它的含义就是说,大约在100次抽样中,有95次这个差值会命中我们的这个区间。那么怎么算这个区间呢?
我们已经计算出的分布了,也就是假如我们抽样非常多次,最后的的概率密度曲线就是我们所计算的那个正态分布的曲线。那么要有95%的命中率,我们当然就应该让这个区间对应的曲线下的面积为95%。
查表可得:在区间之间的面积是95%,那么我们可以算出:
于是我们的置信区间就是 ,即。可以看出,在95%的置信水平下,下限也是一个正值,即实验组的减肥效果优于对照组。我们的结论是:该方案有效。
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