前面已经讲述了在听讲、预习、做题、复习、考试这五大环节中，如何进行健康的数学学习。为孩子在充满模仿学数学的环境下，如何健康、有效的学数学指明了道路。不过最理想的状态，仍然是老师也能走向“健康教数学”的道路。如果老师能让课堂从模仿式教学转变成思考式教学，对孩子健康学数学的帮助将更大。
这次，就借助一个很经典的数学内容——鸡兔同笼问题，来比对一下模仿数学课堂与思考数学课堂的差异，并展示出“思考教数学”的课堂究竟可以什么样。
鸡兔同笼问题，保守的讲，也有1500年的历史了（出自《孙子算经》，其实更早的《九章算术》里也有类似的题目，但没有单独归类，出现的动物也不是鸡兔）。而这类问题能用到的办法，实在非常多，比如老师可能会讲到的，有假设法、抬腿法、半其足法、画图法、列表法、方程法等很多很多的办法。
以一道题为例
“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只”。
这道题，数学课上最常用的，还是假设法。（会的可以跳过下面的解析）
比如假设35只都是鸡，则有腿70条。（35×2＝70）
比现实情况少了条24腿。（94－70＝24）
每把其中一只鸡换成兔，会增加2条腿。（4－2＝2）
想要增加上缺少的24条腿，需要把12只鸡换成兔。（24÷2＝12）
所以就意味着有12只兔，23只鸡。
但对于这道题而言，1500年前的《孙子算经》一书，提出的“半其足法”解决这道题无疑更加简单。（会的可以跳过下面解析）
让鸡和兔子腿都少一半，则有腿47条。（94÷2＝47、这时每只鸡有1条腿，每只兔有2条腿）
腿比头多的就是兔子的只数，所以兔子有12只。（47－35＝12）
我们可以清楚的看到，“半其足法”出现得更早、过程也更为简单，但为什么没有用得更多？甚至很多老师都不知道存在这个办法呢？我们觉得，就是因为“假设法”能解决的题目更多些，这符合模仿学数学的要求。
模仿学数学的课堂，老师会先讲出办法，再让学生用学到的办法解决近似的题目。这种课堂，孩子的探索能力很难提高，靠自己想到全新的办法更是不可能的，这就要求掌握的方法可以解决更多的问题。
我们还不难发现，列举的这两种办法，都不容易想到。可以说，如果授课老师以前没学过这类问题、不会这些方法、方程也不允许被使用，很可能这种问题也是做不出来的，即便做出来，也很难想到可以用这两种办法，因为这两种办法需要的创造性实在是太强了。那么，连老师都想不到的办法，再直接讲给孩子们，孩子们又能有多少收获呢？
我们能够想到，掌握好办法之后，做题考试问题是不大了，但是这个讲课思路，总会有这么几个弊端：1、缺乏思考甚至没有思考；2、缺乏感知感触；3、缺乏甚至没有数学素养上的锻炼。长此以往，即使成绩很高，会做的题很多，对数学的理解与认识也是非常低的。
那么，如何让鸡兔同笼的课堂里充满思考呢？有哪几种“健康教数学”的思路呢？
健康教数学，要先有这几个原则：要让孩子有思考、要让孩子有感知、孩子能想出来的就绝不先讲。
对于这个问题，健康数学有三种思路。
第一种：做足铺垫。
这个思路在于，很多办法靠孩子自己是想不到的，但是可以通过层层铺垫，每层铺垫都仅仅有一个容易想到的小障碍，这样来引导让学生想到整个思路。
比如希望孩子自己想到“假设法”，就可以用下面两道题来铺垫。
铺垫1：鸡兔同笼，共有35个头，70条腿，问鸡兔各有多少只。
这个很简单，也很特殊，只要发现70是35的两倍，就能确定35只都是鸡，没有兔子。
铺垫2：鸡兔同笼，共有35个头，72条腿，问鸡兔各有多少只。
单看这道题是有难度的，但如果与铺垫1进行比对，就容易发现，无非是多了两条腿，这就不可能都是鸡了，可以想到减少1只鸡、增加1只兔子即可。
如果孩子的思考能力还可以的话，这两道铺垫题，就足以让孩子们自己想到“假设法”了，如果不是很理想的话，就要在铺垫1之前和铺垫2之后再出一道或若干道铺垫题，当然这是在对孩子们思考能力足够了解的基础之上才能出的。
如果是希望孩子自己想到“半其足法”等其它办法，也完全可以设计一系列铺垫题来进行引导。
这种“做足铺垫”的思路，利好在于锻炼了孩子的思考、让孩子自己有所观察、有所比较、有所发现，这已经比模仿学数学好了很多，但是这种思路我们也不是特别推荐。放弃这个思路，主要有两个原因。
一个是学生对老师依然存在着依赖，探索能力没有真正的提高。因为这些铺垫题，孩子自己是想不到的。虽然孩子是有思考和分析，但没有了铺垫题之后，孩子们依旧不会有思考的方向。
另一个是思考虽然有，但思维仍会被束缚，因为老师事先设定好孩子的思考方向了，是孩子一步步走进老师的设计里，自己的不受干扰的思考其实并没有打开。
第二种：有序尝试
数学中是充满规律的，应用问题也是如此，这道鸡兔同笼的问题，完全就可以用“有序尝试”来寻找规律。
比如满足35只头这个条件，让兔子数量依次增加来找规律。
就是依次实验35只鸡、0只兔的腿数；34只鸡、1只兔的腿数；33只鸡、2只兔的腿数；32只鸡、3只兔的腿数……
很容易发现腿数的变化是不停的加2的，那么什么时候增加到了94，也就得到了正确的答案。
再比如满足94只脚这个条件，让兔子数量依次增加来找规律。
就是依次实验47只鸡、0只兔的头数；45只鸡、1只兔的头数；43只鸡、2只兔的头数；41只鸡、3只兔的头数……
最初的思路需要老师点拨一下，但领会了之后，很多很多的应用题目，都可以采用这种“有序尝试”的办法，通过观察和分析，寻找到规律，进而做出答案。
可以说，这个办法在一定程度上，能解决前者“做足铺垫”产生的隐患问题。因为这个授课思路没有铺垫、对老师没有多少依赖、能在一定程度上增强探索能力。
所以，我们对于这种思路的评价是高于第一种的，在教学中也是会推荐使用这个思路的。
不过这个思路同样有着自己的隐患问题，就是：深不得也浅不得。深不得是说，不能把这个思路讲得太多、带着学生掌握得太深，否则这个思路对孩子来说也成为了一种束缚、甚至是一种新的依赖。浅不得是说，这个思路也不能提示得过少，否则孩子根本领会不到“有序尝试”的威力与甜头，也没有往这个探索方向努力的能力和欲望。
第三种：随机尝试
孩子之间的差异其实是非常大的，这个差异在数学学习中同样会有明显的体现。不同的孩子，潜在的思考方向、潜在的数学偏好、潜在的数学素养都是不一样的。而最理想化的课堂，一定是保留了孩子们在数学上的个性和特点的。而“随机尝试”的目的也正在于此。
如果孩子第一次遇到鸡兔同笼问题，是很陌生的，是不会任何公式、任何办法的。而老师，虽然自己特别会做，但就让孩子自己想，不给任何铺垫、不给任何提示、不给任何方向，只求孩子自己想办法解决问题。当然，老师也丝毫不知道，孩子们能想到什么、会从哪里入手、有着怎样的探索与发现、最后是不是能把问题解决。当老师给予孩子最大的自由和信心时，很多孩子学数学的潜能就真的发挥出来了，我们相信很多思考能力不错的孩子，都能独立解决这道题目，而且会出现五花八门的解决办法。
比如，一定有孩子会按照下面这个思路解决该问题：
发现没有很好的思路，先试验几个数。比如鸡10只、兔20只；鸡15只、兔20只等，代入几组具体数试一下，这样就先对这道题目有了一定的了解和感知。
想到固定鸡、兔总数35只，不断调整鸡、兔相应的只数来满足腿数。
想到鸡的只数增加（意味着兔的只数减少），腿数会减少；鸡的只数减少（意味着兔的只数增多），腿数会增加。
比如试一下15只鸡、20只兔，发现腿110条，多了，所以增加鸡、减少兔。调整几次后，鸡、兔的只数就都出来了。
这个思路是完全可以解决问题的，能想到是非常好的，当然有些老师或家长会不屑，会觉得这个答案就是试出来的、又列不出算式等等。其实不然，这个思路充分的体现了孩子的探索思考能力、分析比较能力和尝试调整能力，说明孩子的数学素养真的不低。当然，孩子可能会有很多其它的思路，就不在此一一列举了。
既然孩子独立思考做出来了，老师也就不需要讲太多了，剩下的就是让学生之间互相探讨、互相学习、互相评价，有解决不了的困惑、有思考方向的偏颇、有理解的不当等问题时，老师再出马，就真的做到了“健康教数学”，孩子们也就更容易走向“健康学数学”的道路。
不过，如果孩子们思考能力和思考经验有限、像鸡兔同笼这样的问题难度是非常大的。所以“健康教数学”赶早不赶晚，最初一定要给孩子们符合他们思考程度的一些思考问题，让他们逐渐积累思考经验、逐渐锻炼思考能力，一定要给充分的思考时间和思考空间。真正具备了足够的思考能力之后，独立解决鸡兔同笼问题也就不难了。
三种我们的“思考教数学”的思路就介绍完了，我们可以很容易看出这三种方式的不同。“做足铺垫”的方式给了明确的设计，“有序尝试”的方式给了清晰的方向，而“随机尝试”的方式，是给了足够的自由。
毫无疑问，我们最为推荐“随机尝试”。这也是我们在课上运用得最多的一种，只要让孩子具备了一定的探索和思考能力，这种自由式的课堂一定是令人向往的、丰富多彩的、充满神秘的，因为你不知道在什么时候，孩子们的思考就带来了惊喜。而且惊喜一定会有很多，这样的课堂也一定是教学相长的。
虽然这一篇主要讲的鸡兔同笼问题，但“随机尝试”这个思路的适用范围非常广，对数学理解得深的话，这种课堂完全能够用在所有中小学的数学课堂中。
只是这种“思考教数学”的讲课，想教出来并不是一帆风顺的，想做到必须要做到以下两点。
1、老师对数学的理解要深。
模仿教数学的课堂则不需要，甚至老师能够现学现教就可以了。但思考教数学的课堂，老师必须要对数学理解得非常深入。如果理解不深的话，连孩子的思考方向都觉察不到、连孩子的思考内容都理解不到的话，课堂是进行不下去的。上着上着就又回到了模仿式教学。
还有一点很关键，就是课上让孩子思考的内容，必须能够适合孩子的思考程度，对数学的理解不到位，这点不可能做到。
2、这种课堂不能带有功利心。
这样的课堂，孩子的成长开始时会非常慢，但是加速度会很大，尤其最初思考能力的锻炼，是要非常耐得住、要去除杂念，是非常艰辛的一段过程。这个阶段，是不能想着应试的，想着应试就会图快，那么想锻炼思考就会很难了。
在“健康教数学”的课堂中，一节课只做一道题甚至还不会做都是有可能的，一节课都用在思考上却什么都没有思考出来也是有可能的，所以要将学习当成很单纯的事，学习的目的就是学习，不是其它。
其实，这个思路跟应试并不矛盾，只是会将应试排在了锻炼思考能力之后，思考能力锻炼出来了，应试能力的提升会是水到渠成的事情了。
可以说，虽然只有两个困难点，但想解决任何一点，都不是容易的事。所以要成长为能营造“健康教数学”课堂的老师，是很漫长、很曲折、很艰辛的一个过程。
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