趣味数学：七葫芦娃换宝升级到八仙换宝
易老师为思思和方方上课。
老师问：【葫芦七兄弟交换宝物】的问题，大家都搞懂了吗？
二人异口同声回答，搞懂了！
易老师说：学数学，就是学思想和方法；一定不能满足于答对一两个具体的习题；一定要深入彻底的了解解题的原理。
如果对基本的原理了解不够深入，命题人把具体的数字一换，可能你就会答错。
方方回答说：老师，我们真的搞懂了。不信，你出题考考我们。
易老师：好的，我现在就出一个相似的题。你们试试，能不能正确解答？
八位仙人交换宝物
8 位仙人各有一件宝物，每一位仙人都送出自己的宝物，也得到另一位仙人的宝物，但不允许任意两位仙人互相交换宝物。一共有多少种不同的交换方案？
两位小同学奋笔疾书，几分钟后同时交卷。
其中方方的解答是这样的。
八位仙人交换宝物，交换方案可以分为以下三类。
第一类，八位仙人分为一个 8人大组。按照圆周排列模型，具体的交换方案数为： ；
第二类，八位仙人分为两组，一组三人，一组五人。
针对这一类，需要分三步走：
（1）分组的方案数为 ;
（2）3 人小组的交换方案数为
（3）5 人小组的交换方案数为
根据乘法原理可以求出，这一类方案的总数为 ;
第三类，8 位仙人可以可以分为两组，每组 4人。
与第二类相似，第三类的方案数为
根据加法原理，八位仙人的交换方案总数等于三类方案之和，也就是：
易老师：思思，你的结论和方方一样吗？
思思：一样。
易老师笑着说：看来，乘法原理和乘法原理，大家已经基本掌握。方方的解题思路，大方向是正确的。
不过，现在让我们更深入一些。我们知道，从 8人中选出 4 人，共有 种选法。这个数量有点大，能不能写出一些具体的实例呢？思思你来写。
思思同学很快写出了以下实例：
很好！
易老师继续说：既然是两个组，我们不妨把方方刚才写的这组称为甲组，另外一组称为乙组。思思，你来把对应的乙组成员写出来。
按照老师的要求，思思很快出另外一组成员，于是得到了以下表格。
| 甲组 | 乙组 |
|---|---|
易老师：仔细看上面的表格，有什么发现？
两人看了一会儿，思思忽然说：我发现，倒数第一种和第一种，其实是同一种分组方案。
方方接着说：不只一对。第一种、第二种也是这样。每种分组方案在这个表中都出现了 2次。
易老师：也就是说，我们前面的计算中，存在重复统计的情况。
方方：我想起来了，这种情况以前遇到过。在握手问题中， 实际上代表同一次握手。所以，应该除以 2.
易老师：完全正确。在第三类交换中，正确的分组数应该是 .
所以，八位仙人的交换方案总数是：
易老师：学数学，就是学原理，学思想，学方法。数学解题，不能停留在表面，一定要深入分析，不断总结，才能进步。
具体到加法原理、乘法原理和排列组合的应用，有一些细微的区别，一定要留意。
在分组的计算过程中，有时需要除以 2，有时不需要。我们能不能举两个简单的实例加以说明？
按照老师要求，两位同学分别编了一个题。
方方编的应用题
8位同学周末到公园游玩。他们发现：公园的小船限乘 4人。所以，8人需要分乘两条小船。问：这 8人分成两组，有几种分法？
思思编的应用题
有 8位好朋友到一家快餐店吃晚饭，由于时间较晚，店里只剩 4 份炒河粉和 4 份炒米饭。所以，需要把 8人分为两组，一组吃炒饭，一组吃炒粉。问：有多少种分组方法？
亲爱的读者朋友，以上两题有何不同，你看出来了吗？
网友评论