自然数体系的符号学原理

                陈定学

手机号13085057966；qq:1565456128

引言:莱布尼茨是世界上用符号排列明确诠释数进制思想的第一人，但是他并没有给出包括二进制在内的所有自然数体系的符号组合原理(构造规律）。本文借助元序列概念，直观揭示了自然数体系的符号组合规律，从而论证了自然数的基序本质以及关系来自人类的对符号空间关系的推演，论证了自然数体系的人造性，也明确了空位号对于自然数体系的认识论意义及其不可或缺性。

内容摘要:用两种及两种以上的符号作排列定格，就构造出了元序列，用元序列中的符号依次两两组合并依次排列，就能构造出一套自然数体系。说明自然数体系的构造是不受特定符号和特定进制数局限的；说明自然数符号体系的组合排列有共同的规律；说明自然数的基、序本质及关系，来自人类对符号空间关系的逻辑化推演；说明自然数体系是人类的符号化构造。

       

【关键词】:符号；组合型态；组合码；元序列；空位号；始发号；基序本质；基序关系；

1、自然数概论

1.1、自然数的基、序统一性

自然数(符号）是人类表达整体事物数量信息或序列信息的工具。自然数是基数与序数的统一体，所谓“基数”，是指表示”一堆元素或一连串事件共有多少”的数(符号），基数的用途是“统计元素或事件的总数”，例如“8棵树”、“8次”。所谓“序数”，是指“在一堆元素物或一连串事件构成的序列中，指称某个序列点元素物或某次事件的数(符号），譬如“第5栋楼”、“第13次”。基数用于表达总数或序列整体的大小多少，序数用于指称总数或序列整体中的”某一”，譬如“某处共有8棵树，从左往右数的第5棵树需要除虫”，这个”5”就是序数用途的，这8棵树在同一个空间序列中(这个8是基数），5只是这个序列中的一个序列点(第5棵树在8棵树中的序列点示意“////／///”，按自左向右顺序），譬如“某现象共出现过9次”(这个9是基数），其中“第6次明显异常”，这个6就是序数意义的6，这9次现象共同构成一个事件序列，”第6次”是这9个事件序列中的一个序列点(事件）。

怎么理解自然数是序数、基数的统一体呢？——即同一个自然数符号，既能表示“共有多少个”(基数用途时），也能表示“第多少个”(序数用途时）。

基数性和序数性是自然数的两种基本性质，虽然二者在宏观上是统一的，但是具体性质和用途是有所不同的。

二者的性质不同处:基数是对元素个数或事件次数统计结果的表达，基数统计可以不按序列的空间方位或时间顺序进行(不受空间方向和时间方向限制，可自由累计）；序数是对序列中的某个元素或事件的指称与表达，数序只能从序列的某个空间方向开始，或按某种时间顺序开始，不能像统计基数那样的自由操作，譬如“第8排”，这个序数是按空间方位数(shǔ）来的，“第9次“这个序数是按时间顺序数来的，而“8排”、“9次”这两个基数的统计，显然可以不受空间顺序、时间顺序的限制。

二者的用途不同处:基数表达的目的指向量的整体(大小、多少），而序数指向整体中的某个元素物或某个时间点(事件）。

1.2、自然数的离散性及应用领域

能被自然数表示基序信息的事物，都具有可列的整体性和离散性，自然数的离散性体现于三个认知方面。a、集中表现为以空间界限为离散特征，以”个”为代表的基序，如”共有6个”、”第6个”，与”个“性质相近的量纲有“台”、”头“、”棵“、”张“、”条“等，这类自然数的离散性都是通过空间界限产生的；b、集中表现为以时间界限为离散特征，以”次”为代表的基序，如”共6次”、”第6次”。“回”、”批“、“轮”、”场“、“局”等量纲都与”次”内涵相近，它们的离散性 都是通过时间界限产生的；c，集中表现为以逻辑界限为离散特征，以“种类”为代表的基序，如“共3种类型”、”第3种类型“。与种类近义的量纲有”样”、”层次”、“方面”、“维度”等，这类自然数的离散性是通过逻辑界限产生的。

2、关于自然数的来源解释

声音和图像是人类表达语言信息的主要形式，“数“主要是以符号形式被人类识别应用的(读音是对符号信息意义的辅助表达），“数怎么来的？”这一问题，某种意义上等于问自然数符号的基序内涵是如何产生的(自然数是所有数系的母体，“数怎么来的”这个问题建立在“自然数怎么来的”这个问题之上），这个问题可进一步的具体表述为“为什么符号4能够指称表达ε、ζ、η、θ这样的四个任意符号或树、蚂蚁、狗、山四种自然物”。

传统上认为，人们在生活实践中通过对实物与数符号的对应，约定创造了自然数系列，譬如用两只鸭子或两根手指头与数符号”2”及其读音”èr“作对应约定，用七种颜色或人的七窍与数符号“7”及读音”qī”作对应约定等。这种通俗解释显然只能解释一些简单自然数的内涵产生及关系，譬如通过数手指方式意会了符号“8”与“5”各自指代的基序内涵，以及二者的加、减关系，但是并不能解释多个阿拉伯数字符号组合成的多位数自然数的基序内涵及基序关系是如何产生的，譬如用1、4、3三种符号组合成的多位数自然数”143”，它并不能在人的大脑中产生可意会的具象经验(不像”2“这样的直观自然数，很容易在人的大脑中与”两只眼睛“、“两只耳朵”形成对应，产生具象经验），这样的多位数自然数之间的加减运算，显然不适合通过掰手指方式或数石子方式去解释(效率太低)。可见，传统的自然数理论并不能彻底解释自然数的来源以及所有自然数之间的基序关系，更不能解释自然数序列的构造性等自然数的深层本质。

现代数论认为，自然数是按生成法则“自动生成”的，集合论则用元素的基序解释自然数的基序(目前的自然数理论基本上都是用集合概念定义及表达的），皮亚诺根据“自然数后继无穷”这一事实，建立了一套自然数公理体系。这些自然数理论都只能从单一角度解释自然数体系的某些性质，都未能从宏观角度全面解释自然数，诸如“自然数符号的信息内涵是如何产生的？“，自然数之间的基序关系是如何得来的？”、“0是不是自然数？”等等问题，目前既有的数论都没给出符合逻辑的明确回答。

3、自然数体系来自人类的符号化构造

笔者认为，自然数(符号）的基序内涵及关系来自人类对符号空间关系的推演，自然数体系是人类运用符号的空间关系，构造出的一套表达事物基序信息的符号系统。

符号间的空间关系是自然数基序本质及关系

得以产生的逻辑基础，符号的有序组合及排列，是自然数基序内涵及关系由“有限”、“实物具象”上升到“无限”、“纯符号化抽象“的机制所在，从符号组合排列角度，可全面解释自然数及其序列的一切数论性质。

3.1、符号的泛指性

人类视觉所见的一切形相物都是符号，譬如一棵树、一个文字、一头牛、一个星星、一个细胞，一颗棋子、一个音符、一辆车等。所有的形相物都有一个共同的视觉特征，即都有封闭的空间界限(大到星系，小到原子，它们的空间轮廓都是封闭的），正因为万物形体上都是独立的，所以它们都可以被人类作符号化处理，从这意义上说，——万物都是符号。显然，本文这里的说的符号既可指各种狭义的人造符号(譬如文字、数字、图形)，也可广义指自然实物，广义符号与狭义符号的区别在于，——狭义符号专指在纸张平面上书写的文字、图像、数字等信息符号”，广义符号则泛指三维空间中真实存在的一切形相物(包括书写在纸张上的狭义符号，因为图像符号也是视觉形相物）。

3.2、符号之间的空间关系是自然数基序本质及关系得以产生的逻辑依据

书写在书本、屏幕等二维平面上的文字符号、数符号、图表符号等狭义符号，它们之间的空间关系与三维空间中的广义符号(形体物）之间的空间关系本质上等价的，都是一维空间线上的左右关系。笔者认为，自然数符号的基序内涵，就是通过对自然界实物(广义符号）的空间位置关系的推演获得的，该认为也可等价表述为:“自然数的基序本质是通过自然数符号自身的排列位置关系的推演获得的”(都是基于一维空间关系的推演）。当然，如果从实物的空间关系角度推演出自然数的基序性质，显然比在纸张屏幕上通过狭义符号推演出的自然数基序性质更有说服力，既避免了套用十进制自然数基序之嫌，也更形象地诠释了自然数的自然本源性。

鉴于以上思考，笔者会在下文(第五章）中通过构造实例来论证”任意一组自然物的空间关系都能演绎出自然数的基序内涵及关系”这一论断，然后再把广义的实物符号换成狭义的数字或文字符号，再从狭义符号在纸张平面上的左右空间关系，推演出自然数的基序性质及关系，然后再把这两种角度合二为一，从哲学的宏观高度，全面阐述”自然数体系的符号化构造是如何可能的”。

3.3、理论上讲，任意符号、任意基数的进制，都能推演出符号间的基序内涵及关系，都能构造出一套自然数体系

众所周知，用阿拉伯数字符号和十进制构造成的自然数体系并不是自然数“必然的样子”，自然数体系可通过多种符号、多种数进制的排列进行构造，譬如大家熟悉的用0、1两个符号构造的二进制自然数体系，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、a、b、c、d、e、f十六个符号构造的十六进制自然数体系等。

以上仅仅是几种熟悉的非十进制自然数体系，其实理论上讲〔2〕，任意符号、任意进制都能构造自然数体系。譬如用”上、中、下”三个狭义符号可以构造一套三进制的自然数体系，用英文字母前八个符号a、b、c、d、e、f、g、h构造八进制的自然数体系等。

笔者下文以四种实物的空间位置关系为例，构造一套五进制的自然数体系(见第五章节），并且用实例验证该五进制自然数的数学性质与十进制自然数的等价性，作为对本章节提出的“自然数体系的构造不受特定符号、不受特定进制数局限”这一论断的论证。

4、自然数体系的构成要素及构造的方法原理

在未构造五进制自然数体系之前，笔者认为有必要铺垫性的讲解一下构造自然数体系的一些要素概念及方法原理，只有把构造自然数体系的相关要素概念理解透彻了，把构造自然数体系的方法原理了然于胸，才能看懂笔者用实物符号构造的自然数体系，才能理解笔者本文的主旨思想，——自然数及其体系来自人类的符号化构造。

4.1、元序列是构造自然数体系的基本材料

任何符号、任何进制的自然数体系的构造，都是从对元序列的自定义构造开始的。所谓“元序列”，指构造者用自己自定义选择的若干个符号(两个或两个以上），在一维空间〔3〕中对它们的排列位置作定格固定，所形成的一组静态的符号序列(笔者用“<>”号把组成元序列的所有符号括起）。

元序列是构造自然数体系的原始材料，譬如，二进制自然数体系的元序列是<0，1>，十进制自然数体系的元序列是<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>。

元序列是由一组符号在一维空间中的左右排列构造的，构造元序列的符号是广义的，实物、文字、图形、字符等，但凡视觉形相物都可以用来构造元序列，譬如“陈老师用<黑，白>两个文字符号作元序列构造二进制自然数体系”；”李教授用<红，橙，黄，绿，青，蓝，紫>七种颜色或指代的文字作元序列构造七进制的自然数体系；张老师用一只手上的<拇指，食指，中指，无名指，小指>作元序列构造六进制自然数体系等，以上陈述中“<>”内的符号及其固定排列都是笔者所说的元序列。

元序列是自然数体系”生长”展开的种子、基因，自然数的一切性质皆来自元序列，元序列是先于自然数体系出现的(未意识到是另一回事），是先有了元序列，然后才有了自然数体系的构造，并不是先有自然数体系然后才提炼出元序列的，元序列与自然数体系的因果关系一定要理顺。(当前的十进制自然数体系，并不是”明确”基于笔者的元序列理论构造的，是人类在漫长的数学实践中摸索着建立的，但是并不妨碍笔者下这个结论，人类历史上，”直觉性构造及应用在先，原理的发现与解释在后”的例子屡见不鲜）。

元序列的数论性质有如下几方面:

4.1.1、元序列是进制数的定义者

一般而言，元序列中有多少个符号，就能构造出多少进制的自然数体系(用实物符号作元序列时，进制数得比实物数多1个，因为要多加一个表示“空无”的符号，见4.3章节、5章节），譬如0、1二进制的自然数体系用0和1两个符号构造的，所以是二进制，十进制自然数用0~9十个符号作元序列构造的，所以是十进制。

4.1.2、元序列是自然数基序本质的产生来源

自然数(符号）的基序内涵及本质，都是基于元序列符号之间的排列位置关系推导出的，给出任一元序列，就可以按进制的数阶倍率关系，推算出用某个元序列构造的自然数体系中的某一自然数(组合型态）所表示的基序内涵，譬如在用<上，中，下>作元序列构造的三进制自然数体系中，”下中下上”这个三进制自然数与十进制自然数69是等价的(27х2+9х1+3х2+0=69)，也就是说”下中下上”这个组合型态，是上、中、下三个符号按进制的组合规律进行组合并依次排列(组合规律详见下文的4.2.1章节），在组合排列至69次时所形成的组合型态。反之，我们也可以根据元序列，把任一十进制自然数转换为那种元序列构造的自然数(组合型态），譬如随机给出一个十进制自然数”81”，在用元序列<a，b，c，d，e>构造的五进制自然数体系中，与组合型态”dbb”是等价的(25х3+5х1+1х1=81）。

元序列是本系内所有自然数个体基序本质产生的来源、定义者，也是本系内所有自然数之间基序关系产生的定义者。

4.1.3、元序列是自然数(符号）的”生产者”

自然数只能以符号形式被人类识别应用，自然数都是用符号构造的，具体说是由组合码和元序列码两部分组合而成的(”元序列码”即在任一自然数末位上出现的那个符号，除了末位上的元序列码，其它数位上的符号合在一起统称为”组合码”），譬如十进制自然数”56921”，它是由组合码”5692”和右侧末位上的元序列码”1”两部分组合而成。

元序列码和组合码都来自元序列，组合码最初也是由元序列符号两两组合产生的，所以笔者说元序列是自然数符号的母体、生产者。关于组合码和元序列码的关系以及它们如何组合构造自然数体系的详见下文(4.2.1章节）。

4.2、从”符号组合”和”号码机打印”两种角度解释自然数及其序列的生成过程

首先要强调一下，这里的“自然数序列”是泛指的，因为自然数体系的构造是不受特定符号和特定进制数限制的，”拉丁文符号的二进制自然数序列”、“英文字母符号的五进制自然数序列”、”用十个文字构造的十进制自然数序列“等，都是自然数序列，并非只有阿拉伯数字符号的十进制自然数序列才能叫自然数序列。

4.2.1、从符号的组合排列角度理解，自然数序列是从元序列中的符号两两组合并依次排列开始构造的

不论何种符号、何种进制数的自然数体系，都是由右侧的一位元序列码和左侧的若干位组合码作左右排列组合而成(除了右侧末位上的一位元序列码，其余符号合在一起统称为”组合码”）。

不同进制的自然数体系都遵循着同一种组合排列规律，这是不同进制的自然数之间能够实现换算的原因所在。自然数体系的符号化构造过程及方法原理如下:“先用元序列中的第一个符号与元序列中的所有符号作左右组合并依次排列，然后再用元序列中的第二个符号与元序列中的所有符号左右组合并依次承接排列，如此类推，当元序列中的所有符号都两两组合穷尽后，再用生成的序列依次作为组合码，继续与元序列中的元序列码组合并依次承接排列，这样，不断生成的序列(组合码的依次排列）与元序列码的不断组合，就会递进延伸自然数序列，组合码就像滚雪球一样位数越来越多，构造的自然数位数也越来越多，构造的自然数序列也越来越长，如此不断操作，并成了自然数及其序列的构造产生过程”。

所有形式的自然数体系构造都遵循笔者上文揭示出的组合规律(任何人都可以自定义构造一组元序列，然后按笔者给出的符号组合原理构造出一套自然数体系），莱布尼茨是世界上用符号排列明确诠释数进制思想的第一人，但是他并没有给出包括二进制在内的所有自然数体系的符号组合原理(至今数学界仍普遍认为十进制、二进制自然数的符号组合排列是”相对合理”的组合模式，并没有认识到自然数体系的符号组合是有共同的必然性规律的，所以才产生了”0是不是自然数？”、”从1数还是从0数？”等至今仍争论不定的自然数问题，揭示了自然数的符号组合规律，这些问题自然就迎刃而解了），本文借助笔者提出的元序列概念，直观地揭示了自然数体系的符号组合排列规律。

a、以0、1二进制自然数体系的符号化构造为例，讲解以上陈述的自然数体系的构造原理。

自然数都是用元序列码组合而成的。0、1二进制自然数的元序列是<0，1>，构造0、1二进制自然数体系的步骤是:先用0分别与<0，1>中的0和1作左右组合并依次排列，可得到组合排列00、01；再用1与<0，1>中的0、1分别组合，可得到10、11，把两次的组合排列连贯成一个序列，并得到二进制序列的前四个00，01，10，11，根据组合规律，可推导出11的后继是用组合码10与元序列中的0组合成的100(要把100分解为10和0两部分来理解，其中左侧的”10“是组合码，右侧的那个0是元序列<0,1>中的0，为了便于读者区别组合码和元序列码，以及更直观理解组合码和元序列码是如何组合构造自然数及其体系的，笔者下文开始把组合码用画横线作标注，元序列码不作标记，元序列码只占用一个数位，即右侧末位，不标也容易识别），

第三批次组合可得到100、101，第四批次组合得到110、111，第五批次组合得到1000、1001，第六批次组合得到1010、1011，把第一批次至第六批次的组合依次串连起来得:00，01，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，这就是用<0，1>作元序列，从”00”组合开始，历经六批次共12次组合构造出的二进制自然数的前12个数(它们分别与十进制自然数0~11对应），通过上面序列中的组合码出现的规律可见，组合成二进制前12个数的组合码依次是(0、0），(1、1），(10、10），(11、11），(100、100），(101、101），不难发现，是这12个组合码与元序列中的0、1重复组合生成了二进制的前12个数(组合规律要求每个组合码都要与元序列中的符号分别组合一次，二进制元序列只有两个符号，所以6个组合码可组合出12个二进制自然数，若是十进制，则组合十次后再换下一个组合码继续组合并排列），这12个数的组合码连成的序列也是当前数学教科书中给出的0、1二进制序列中的前六6个(0，1，10，11，100，101）(为什么笔者把二进制自然数前二个0，1写成”00”，”01”，详细分析见4.4.2章节），可见，是元序列符号之间的两两组合产生了组合码，组合码又与元序列中的符号继续组合生成新的序列，如此不断组合与承接排列并构造出了<0，1>二进制自然数体系。

b、再以元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>构造十进制自然数体系为例，讲解自然数体系的符号化构造原理

以上是以二进制自然数体系的符号化构造为例阐述进制符号组合原理的，下面再以熟悉的十进制自然数为例讲解。

十进制自然数的元序列是<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>，按进制的组合排列规律，用以上符号分别与以上所有符号作左右组合排列，第一批次可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……；第十批次得90，91，……，98，99；第十一批次可得100，101，……108，109。

组合码与元序列码在十进制自然数序列中出现的规律图示如下:

00 01  …… 08  09 (第一批次）；

10 11  …… 18  19 (第二批次)；

20  21  …… 28  29 (第三批次)；

30  31  …… 38  39 (第四批次)；

40  41  …… 48  49 (第五批次)；

50  51  …… 58  59 (第六批次)；

60  61  …… 68  69 (第七批次)；

70  71  …… 78  79 (第八批次)；   

80  81  …… 88  89 (第九批次)；

90  91  …… 98  99 (第十批次)；

100 101 ……108 109 (第十一批次)； 

110 111 …… 118 119 (第十二批次)

……

220      ……  228  229 (第二十三批次)；

……

780      ……  788 789 (第七十九批次)

790      …… 798 799 (第八十批次)

……

1000  ……  1008，1009；

……

(以上各批次组合出的数，事实上是同在一条射线轴上的，由于十进制是十次一换组合码，所以笔者把整个射线状序列分解成“十个/一批次”，这样可通过纵列清晰地观察到组合码出现的规律)

由上面列出的画横线的组合码与元序列码在十进制自然数序列中出现的规律可见，十进制自然数的组合码依次是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……(阵列竖看出现的画横线的序列，也即当前数学教科书上说的自然数序列）

十进制自然数及其序列就是这样不断用组合码与元序列码<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>的左右组合构造的。

从自然数的组合规律可以看出，任何一个自然数都是由右侧末位上的一位元序列码和左侧所有数位合在一起的组合码两部分组合而成。譬如自然数“135”，它是由组合码”13”与元序列码”5”左右组合构造的，譬如自然数”1546002”，它是由组合码”154600”和元序列码”2”左右组合而成。

由上规律可见，五位数的自然数组合码即左边的四个数，四位数自然数的组合码即左边那三个数，两位数自然数的组合码即左边的那个符号，组合码和右边的元序列码一样，最初都来自元序列。

4.2.2、从号码机的物理运动角度解释十进制自然数及其序列的生成

以上是从符号组合角度解释自然数及其序列生成的，从物理运动角度，也能生动解释自然数及其序列的生成。

不论何种进制的自然数序列，它们的构造过程本质上都可解释为是元序列码在末位上的无限次循环排列或无限次的”+1”(末位即右侧第一位），譬如0、1二进制序列的生成过程，可解释为是<0，1>两个元序列符号在右侧末位上的循环出现，0、1每出现一次，就以+1形式构造出一个新的二进制自然数，从始发号0开始，不断递进“+1”，就成了二进制自然数序列的构造过程。十进制自然数序列的构造则表现为元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中的十个符号在末位上的不断循环出现。

(图a)

(图b)

关于十进制自然数序列的构造过程，可以通过印刷用号码机的打数过程给于生动解释。号码机(见图a、图b）正面上的读数是号码机打印出的数字(十进制自然数），号码机可自定义设置位数(一般只设置十位左右，读者在思考号码机如何构造自然数序列时，要把号码机的位数假设为无穷多位），每个数阶上的位值，都雕刻在一片近似圆形的十面体金属滚轮的侧面上，圆形十面体的十个面正好刻完0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号，这十个符号并不分起点终点(0和9在圆形界面上首尾相连，8的后继是9，9的后继是0，0的后继是1），由使用者根据自己的使用目的使用，使用者要印哪个自然数，可手工拨号后打印，如果使用者要“从0开始制造自然数”，得先把所有数位上的数码手工拨到0界面(正上界面显示的读数，即号码机打出的数），然后打码机就可以依次打出0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……。(说明:号码机上所有位值初始态都是0，譬如十位打码机未打印前是”0000000000”，打印”2568”显示为”0000002568“，自然数”1”显示为读数”0000000001”）

号码机中的每一片滚轮上都刻有0~9十个位值符号，这十个符号依次出现一次就是十次(一轮，与上文中的组合码十次一换等价），每出现十次，个位就要向十位数阶上进一，十位阶满十，就向更高的百位阶上进一。+1即滚轮上的读数“向前翻一页”(翻转到下个界面。)，假设当前读数是”0056080085”，+1即相当于把个位上的5拨到下一个读数”6”，其它数阶上的位值不动，”+3”就把滚轮向前翻动3次(实际号码机只能一次一翻，翻动三次需要三次操作），读数页面必然是8，”－1”相当于把个位上的5向后翻一页”〔4〕，”－2”即向后翻两页，读数必然是”3”。

由上所述可见，号码机“制造自然数及其序列”的过程，实际上就是元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>十个符号依次在个位上循环出现的物理过程(通过机械力按压左侧带有“NO”图样的按钮实现，每按压一次弹回，号码机个位上的读数就会向前滚动一次）。

从物理角度理解自然数及其序列的构造过程，只需要在着眼于个位层面上的变化，其它数阶的变化都是随着个位上的位值变化而随之变化的(最右侧末位的读数变化是“因”，其它位的读数变或不变都是“果”，“逢十进一”是号码机读数变化的逻辑）。

4.2.3、”符号组合“与”号码机打印“两种解释本质上是统一的

上文从符号组合和号码机的打印物理运动两个角度解释了自然数及其序列的生成性，这两种解释乍看不同，但实际上异曲同工，是等价的。显然，号码每组合排列一次所产生的“个”或”次”，与号码机每打印一次所产生的”个”或“次”是同属性、等效价的(号码机打印一次=符号组合排列一次），它们也都是自始发号开始的(符号组合构造自然数序列从00开始，号码机打印自然数序列也是从00000000开始）。不过，这两种构造方式虽然等价，但还是要有所区别，一方面区别是”执行的操作指令不同“，号码组合构造自然数执行”依次组合并排列”指令，而号码机打印构造自然数执行的指令是“个位上不断递进+1”；另一方面区别是”号码组合是从左→右构造自然数(从始发号方向开始组合，所以是从左到右），而号码机打印是从右→左构造自然数(从个位开始递加，不断向左进位，所以是从右到左）”。

4.3、打头号必须表示”空无”

人类通过对经验世界量变过程的观察，很早就发现了形相物的“有⇆无”互变现象，譬如一块草地原来空空如也(量的对象没出现），某时飞来一只鸟，过了一会又飞来三只鸟，过了一会飞走了两只鸟，又过了一会，又飞走了两只鸟，现在草地又恢复了原来的空空如也。这个”从无到有，从有到无“的量变过程，现代人用自然数的加减式很容易演绎(0+1=1；1+3=4；4－2=2；2－2=0），显然，符号0表示的“空无”在以上表达中起了很大作用，如果没有表示空无的符号”0”，鸟没来之前以及鸟全部飞走后的量态我们就无法用符号语言表达。

通过上面陈述的量变过程可见，整体事物的量变是有规律可循的，——不是“多(大）→少(小）→无”，就是“无→少(小）→多(大）”，

整体事物数量的有无变化规律与自然数体系有何关系呢？——这个规律告诉我们，符号意义的自然数体系，必须从空无(位）号开始构造，不能从最小基数开始，否则鸟全部飞走后的“空空如也”就不能被数符号表达，因为我们并不能构造出一套“最大基数→空无”的自然数体系(最大基数是不能被符号组合型态表达的，因为符号本身是有限的经验材料)，所以只能从“空无”开始，构造“无→有(小）→多(大）”的自然数体系，所以，任何形式的自然数序列，其打头排列的符号都只能表示”空无(位）”或”始发”内涵，不能表示基序内涵。

老子说”天下万物生于有，有生于无”，这一思想正是对”无→有(小）→多(大）”量变规律的描述与认可。可见，事物的量被人类感知以及分大小，都只能从”无”开始，人类构造数量体系当然也得从空无(位）号开始构造。

4.4、排在元序列首位的打头号是集“空无(位）”与”始发“为一体的概念

排在元序列首位的打头符号，是一个双重内涵的符号，从符号组合角度看，打头号与打头号的组合是第一步，所以打头号具有“始发”内涵，从人类的数量认知规律看，打头号只能表示“空无“，所以又具有“空无”内涵。

虽然”始发”与”空无”来自两种不同的解释体系，但是二者在符号化的自然数体系中却能完美统一，也就是说自然数 体系中的打头号可以扮演两种角色。

4.4.1、打头号的始发点性质、原点性质

虽然我们可以用若干个数字符号任意构造出各种位数的自然数，但是从自然数基序本质生成的逻辑次序上看，自然数体系都是从始发号开始的(”组合”或“打印”），也就是说对于任意自然数n而言，它是自始发号开始，经过n次组合或打印所形成的组合型态(或读数），所以自然数n的完整表达应是“始发号→n”。譬如十进制自然数“569”，我们可以把“569”解读为“是十进制自然数元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>自“00”组合开始(不包括00本身)，依次组合排列”共569次“时，也或说是自”00”组合开始排列，组合排列至”第569次“时所形成的组合型态，结合号码机理解569这个自然数，即自0000000开始(不包括此），打印了569次或打印到第569次时，号码机显示出的读数），所以569这个数的完整表达应是“0→569”。

可见，始发号(点）是所有自然数及其序列构造的逻辑原点，本系内所有自然数个体表示的基序，以及所有自然数之间基序关系的建构，都是通过与始发号的位置关系推演获得的(”本系“是对某种自然数体系的自称，譬如“<0，1>二进制自然数体系”）。譬如我们熟悉的十进制自然数的加乘口诀表，——即0~9十个数两两之间的加乘关系式，就是通过与始发点0的位置关系的分析建立的。符号”4”之所以能够表示”／／／／”，符号”3”之所以能够表示”／／／”，并不是人类群体随意约定的结果，而是由符号”4”和”3”两个符号在十进制自然数元序列中的位置决定的，而0点位置是3和4所在位置的共同来源点、参照点，是它们基序关系的”锚定者”、定义者(这也是0必须得纳入十进制自然数体系的依据所在）。

符号在元序列或本系序列中的位置，决定了它所表示的基序，本系内所有自然数符号之间的基序关系，都是通过与始发点号的位置关系推导出的，如何籍由始发号推导出每个自然数(组合型态）表示的基序，以及推导出任意两个自然数之间的基序关系，详见第五章节分析。

4.4.2、打头号的空无内涵及空位性质

4.4.2.1、元序列中打头排列的空位号既能用一个符号表示，也能用一个空白格表示，但是不能不作表示

符号化的自然数体系中，空位号是不可或缺的。一方面，人类毕竟要通过符号语言来表达数量信息(声音的信息意义建立在符号信息意义上)，人类构造数量体系必须要使用符号；另一方面，人类对量的认知及表达绕不开”空无”这种量态(见4.3章节），以上两方面的刚性要求，决定着构造自然数符号体系首先得从空位号的确立开始，意味着构造自然数体系的元序列，打头排列的符号必须表示”空无”、”空位”内涵，不能表示基序内涵。

自然数符号体系必须要有空位号，但并不意味着空位号必然要用一个形相符号明确标出，因为我们是在一维空间(一条线）上建立自然数符号系统的(不论是在三维的真实自然界中，还是在二维的纸张平面上，我们人类的意识都能从中提取出一条线性的一维空间来，用于符号的左右排列），在我们没做构造之前，纸张平面的左右(一维线）本来是空着的，假如我们把元序列中打头排列的表示空位的符号直接用一个空白格表示(要么用一个符号表示，要么用一个空格表示，但不能不作表示），其信息学意义其实与用一个表示空位的符号表示空位是等效的(出于高识别性需要，元序列打头号最好用一个符号明确标出）。

4.4.2.2、可以在自然数左侧末端标注上若干空位号，也可以不标注，但无论标注还是没标注，都要意识到空位号存在于任一自然数的左侧末端

空位号不仅必然存在于元序列中，也必然存在于所有自然数的左侧末端，每个自然数的左侧末端，其实都隐形存在着无穷多的空位号(说空位号”隐形存在”，是因为事实上绝大多数情况下，自然数左侧的空位都处于自然的空白态）。

自然数是通过符号在一维空间中的左右排列表达其基序内涵的，每个自然数表示的基序，最终都要通过位数及位值的定格来实现，自然数位数及位值的定格过程是从低阶向高阶的(虽然我们书写习惯是从高阶到低阶，即从左向右书写)，所以在所有自然数的左侧末端，都隐形设置了无穷多的空位号(下阶向上阶进位的需要）。譬如，号码机读数”00000056”表示的自然数56，在56左侧末端上出现的6个0都是空位号。

空位号是表示”空无”、”空位”内涵的，所以在自然数左侧末端的空位号可标可不标，因为”空白”、”空格”与”表示空位的符号0”三者的信息学意义是相同的，譬如上面说的用号码机读数表示的自然数56，就可以写成”      56”，也可以写成”00000056”，即”56”=”      56”=”000056”。

综上所述可见，自然数左侧的空位号”不标出”、”用符号标出”、”用空格标出”这三种情况都是等价的(都行），这也是为什么十进制自然数最左侧的0可写可不写的原因所在。

现代数学实践也表明，在自然数左侧末端标上空位号，并不影响自然数的结合律、交换律等任何已知的数学性质，说明”空位号隐形存在于任一自然数左侧末端”这个判断是符合符号学的认识论原理的(这也是笔者在4.2.1章节和4.2.2章节中把二进制自然数前两位写成00，01，把十进制自然数序列中的前十个写成00，01，02，03，04，05，06，07，08，09的依据之一）。

4.4.2.3、在自然数右侧末端出现的空位号和在自然数中间出现的空位号，一定要用符号标注

以上阐述了空位号在元序列和自然数左侧末端出现的情形，这两种情形，空位号都是可标可不标的。还有两种情况，空位号必须要用符号明确标注。

一种是空位号出现在一个自然数的右侧末端的情形，譬如”56000”，这三个0与上面的”00000056”中的0的性质截然不同，在56右侧出现的三个0是有占位作用的，这三个0决定了5和6这两个位值符号分别处于第五位阶和第四位阶上，而”00000056”左侧出现的六个0是对虚拟数位的表示(意涵可解释为”有可能要用到这么多位阶”，或解释为”对这个自然数位数的限制”），这些虚拟位上的0并没有参与”56”这个自然数的组合构造，而”56000”中的0实质性的参与了”56000”这个自然数的组合构造。

显然，这样情形的0是不能不写的。

还有一种空位号出现在自然数中间时的情形，也是必须要用符号标注的。

譬如自然数”1003”，这样形式的空位号也是必须要用符号标注的(我国古代手写自然数时用空白格或””这样的符号表示空位，算盘用空档表示空位）。

4.4.2、空位号的进位组合指导功能

笔者强调空位号在任一自然数的左侧端隐形存在，当然是有深层数论意义的。

笔者在讲解符号组合构造自然数序列时，给出了十进制自然数序列的第一批次组合是00，01，02，03，04，05，06，07，08，09，如果“从两两依次组合并穷尽排列”这个组合操作指令看，这个批次是从始发号0开始的组合及排列(每个组合左边符号都是”0”)，第二批次的组合当然是用元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中的1与序列中的所有符号组合并依次排列(左边符号都是”1”），根据笔者上面揭示的组合排列规律，很容易理解……8，9的后继为什么是”10”组合(因为以0打头的第一轮组合已穷尽，第二轮轮到1打头），也很容易推导出99后的组合为什么是100(以9打头的第九批组合排列已完成，第十批次用组合码9的后继10作为组合码与元序列码继续组合排列，故99的后继组合是100）。

上述可见，从符号组合规律角度确实可以准确推导出任一自然数的后继组合型态，然而有一个缺点，对于非阿拉伯数字的、多位数的复杂自然数，我们很难迅速找出它的后继组合，如果用”隐形空位号与号码机打印原理相结合”的方法，就可以轻松解决这个难题。

譬如在用<东，西，南，北>作元序列构造的四进制自然数体系中，组合型态“西南南北北”的后继组合是什么？这时，如果我们用符号组合理论从”东东“开始逐个逐次的组合排列，需要排列256х1+64х2+16х2+4х3+3=431次，才能确定下个排列是”西南北东东”(256х1+64х2+16х3+0+0=432)。显然，从符号组合角度推导非阿拉伯数字符号的、非十进制或二进制的多位数自然数的后继组合是很麻烦的，甚至于没有操作价值(效率太低）。

这时，如果我们从号码机打印(+1）角度，这个问题就简单多了，可直接在”西南南北北”的右数第一位上+1，使右数第一位位值由“北”变为”东”即可(”北”是该四进制体系的最高位值，”北+1”涉及进位，执行进制的进位规则即可），这样，就推导出组合“西南南北北“的后继组合是“西南北东东”。

当然，这是相对复杂的+1情形，如果是”西南南”这样简单的自然数(组合型态）+1，可直观看出“西南南+1”不涉及进位，只需把右侧第一位上的位值由“南”变为下一个位值“北”即可，可得出“西南南+1=西南北”(即“西南南”的后继组合，它的后继自然数)。

运用号码机+1方法显然比符号组合方法更容易找出一个自然数的后继组合，但是，要找出一个复杂的非阿拉伯数字符号的、非十进制二进制自然数的后继，对于进制排列原理不熟的人来说也不是容易的事，这时，空位号就能发挥指导作用了。

譬如，在用<a，b，c，d，e>作元序列构造的五进制自然数体系中，”eee”的后继怎么组合呢？我们根据号码机+1原理，可直观看出“eee”的后继组合是个四位数组合，但是却无法判定是“aaaa”，还是“baaa”，这时，如果我们在“eee”的左侧端添加上一个空位号”a”(a打头排列，它就是该自然数体系的空位号），把原组合型态变成”aeee”，这样，很容易看出“aeee”的后继组合是“baaa”(左侧第一位是a，进一后该空位号就由a变b，空位号a则自动浮动到b的左侧位，成了“abaaa”，根据自然数左侧末端的空位号可略去不写原则，略去空位号a后，”eee“的后继组合就是“baaa”）。

至此，空位号对于构造自然数序列的指导作用已不难看出，运用号码机打印原理，再结合空位号理论，可以帮助我们迅速给出任何一个非阿拉伯数字符号的、非十进制二进制自然数的后继组合型态。

5、用”马”、”鸡”、”狗”、”牛”四个实物符号和表示空位的符号”0”作元序列构造五进制自然数体系

阐述完构造自然数体系所需的方方面面要素，下面笔者就用上文揭示的构造自然数体系的符号组合规律，以及“元序列”、”始发号“、”组合码“、”空位号”、”组合型态”等概念，构造一套五进制的自然数体系，且是用实物作为符号，模拟自然界情境构造的，目的是通过实物空间关系推演出自然数的基序本质及关系，以此作为对“自然数的基序本质来自人类对符号空间关系的推演”这一观点的论证。

(说明:由于简书版面不支持实物图样符号，马、鸡、狗、牛四种动物的图样只能用文字符号代替，文字符号与实物符号在纸张平面的关系是等价的，都是一维线上的左右关系，所以用图像代替实物，用文字代替图样都是等价处理，不改变符号之间的空间位置关系）

用实物符号构造自然数体系的过程情境描述:某人在一条长条形的河堤上行走，他看到河堤上依次站着”马”、”鸡”、”狗”、”牛”，(这四种动物按序排成一行，构成了一个空间序列），他以自身位置为方向出发点，记住了他和这四种动物在空间中的依次位置，他回家后在电脑上开始构造五进制的自然数体系(在电脑或纸张平面上用符号左右排列构造的一维空间关系，与实物在三维空间中的左右线性关系是等价的，都是一维线上的左右关系）。

他先在纸张上把他自身所处位置与四种动物的依次用指代符号标示出来，获得这样一个元序列<0，马，鸡，狗，牛>，这个序列中的“0”号是他自身所处的位置(0所在位置原本是用一个圆圈表示的，表示”空空如也”，因简书版面不支持，只能用近义的0代替），他之所以把原本他所在的位置作”无物的空地”理解并用这个恰当的符号作标注，是因为他知道构造自然数体系必须从无物的“空无”开始(见4.3章节的论述，如果他把自己也作为一个自然物，与马、牛等实物一起构造自然数体系，那么他还得在自己的另一侧空地上设置出一个虚拟的空位点来，因为空位号是不可或缺的！如果在原来的四个动物基础上再添加上他本身，那么就是五个元素物，他还得另设置一个表示空位的符号，这样他构造的就是六进制的自然数体系，不是他想要构造的五进制自然数体系了），所以他离开他所在的位置，用一个表示空无的符号“0”代替(任何符号表示空无都行，不用符号直接用空格表示也行，但是视觉不易识别），这样准备完毕后，他开始用元序列<0，马，鸡，狗，牛>构造五进制自然数序列。

他按笔者上文所说的符号组合排列原理从”00“组合开始，依次构造这个五进制的自然数序列，并在每个排列后面标注上对应的十进制自然数，依次是:

00(0），0马(1），0鸡(2），0狗(3），0牛(4）。(第一批次)

马0(5），马马(6），马鸡(7），马狗(8），马牛(9）。(第二批次)

鸡0(10），鸡马(11），鸡鸡(12），鸡狗(13），鸡牛(14）。(第三批次)

狗0(15），狗马(16），狗鸡(17），狗狗(18），狗牛(19）。(第四批次)

牛0(20），牛马(21），牛鸡(22），牛狗(23），牛牛(24），马00(25），马0马(26），……

他从左侧的空位点开始(0符号所在的空间位置），向这个空间序列的右方向看，很容易观察到(0，马〕〔5〕区间内只有一个元素物、一个间隔(任意两个不同的元素物在空间中相邻，都会产生一个间隔，间隔不分大小长短，1毫米间隔与1公里间隔等价，间隔也不受元素物大小的局限，蚂蚁与大象的间隔，与月亮与地球的间隔，都是”/”个间隔）；他观察到(0，鸡〕区间内有“//”个元素、“//“个间隔(为了避免本章节讲解的五进制基序关系有套用十进制自然数基序之嫌，本章节中一般用符号“/”号表示元素或间隔的基数。一个元素或间隔用一撇”/”表示，两个用两撇//表示）；观察到(0，狗〕区间内有“///”个元素”///“个间隔；观察到与牛之间有“////”个元素“////”个间隔。

他把以上观察统计到的基序信息作这样整理:马的基序数是”/“；鸡的基序数是“//”；狗的基序数是”///“；牛的基序数是“////”。

从他的观察统计可见，元序列<0，马，鸡，狗，牛>中各元素物(符号）所在的位置，距离始空位点号”0”的基数和序数是统一的，以狗的基序数“///”为例，——狗是自”0”点方向开始，历经”///“次间隔、计数到的第“///”时的那个元素物。可见，元素物在元序列中的序数位置点可作为其基数的指代，第///个元素物“狗”可指代基数“///”，显然，他可以把以上的所有元素物的基序数全部作基数处理，得到0=” “(用空格表示没有任何元素物）；马=“/”；鸡=“//”；狗=“///”，牛=”////“。

有了以上各元素物的基数信息，他开始建构各元素物两两之间的四则运算关系式(相当于十进制自然数0~9十个符号之间的加乘关系式）。

加法关系式:

0+马=马(/）；0+鸡=鸡(//）；0+狗=狗(///）；0+牛=牛(////）；

马+马=鸡(//)；马+鸡=狗(///)；马+狗=牛(////)；

鸡+鸡=牛(////)；鸡(//）+狗(///）=马0；

鸡+牛=马马(6，画数多不易读数时，改用数字表示）；牛+牛=马狗(8）；

以”鸡+狗=马”为例，对以上加法关系式的得来作出解释:鸡的基数是//，狗的基数是///，所以鸡+狗=/////，根据笔者上文讲的进制组合规律，可推导出“马0”组合是<，马，鸡，狗，牛>元序列自“”组合开始(不包括”00”，0是计基序的出发点，它表示”空无”，故”00“组合不能包含在组合排列的总次数内），组合排列至”/////“次时形成的排列型态，故“鸡+狗=马0”。

乘法关系式:

根据乘法意涵，nхm表示m个n相加，可通过累计法得出元序列符号两两之间的乘法关系式。

与所有数相乘都等于，略。

马х马=马(/）；马х鸡=鸡(//)；马х狗=狗(///）；马х牛=牛(////)；

鸡х鸡=牛(////)；鸡х狗=马马(//////，6)；鸡х牛=马狗(////////，8)；狗х狗=马牛(9）；狗х牛=鸡鸡(12）；牛х牛=狗马(16）。

以”鸡х狗=马马“为例对以上关系式的建立作出解释:鸡的基数是//，狗的基数是///，根据加法意涵，鸡х狗即///个//相加，所以乘积是//////(6），“马马”是元序列<，马，鸡，狗，牛>自“”开始(不包括），组合排列至第”//////“次时形成的组合型态(第////次是“牛”，第/////次是”马“，第//////次是“马马”），所以“鸡х狗=马马”。

减法和除法分别是加法和乘法的逆运算，不必额外建立关系式，下面根据以上关系式作四则运算演示举例:

例一；验证“鸡狗牛+牛=鸡牛狗”，解释:根据以上加法关系式“牛+牛=马狗”，可得出右侧末位是”狗”，在末位写“狗”同时，再向右数第二位进“马”(右侧第一位正好满/////，所以本位写”狗”并向上位进”马“，因为马的基数是”/“，所以进一即”进马“，如果进二则”进鸡”），右数第二位原来的位值是”狗”，根据“马+狗=牛”关系式，可算出右侧第二位的值是”牛“，右数第三位的位值“鸡”没变化，这样并得出”鸡狗牛+牛=鸡牛狗“。竖式如下:

  再用十进制自然数对该例的数理过程作验证:

排列组合“鸡狗牛“是一个三位数的五进制自然数，根据进制数与位值的关系，可推算出该数右数第一位上“////”个基数相当于十进制自然数4(5^0х4=4)，右数第二位上”///“个基数，相当于十进制自然数15(5^1х3=15），右数第三位“//”个基数相当于50(5^2х2=50)，把三个位上的十进制自然数值累加，50(25х2)+15(5х3)+4(1х4)，算出“鸡狗牛“相当于十进制自然数69(50+15+4=69)”，又进一步看出“鸡狗牛+牛”相当于十进制自然数69+4(牛的基数是////)，这样，”鸡狗牛+牛”的和应该=73，再把“鸡牛狗”换算成十进制自然数，2х(5^2）+4х(5^1）+3х(5^0），算出“鸡牛狗”三个位上的基数总和=50+20+3=73，验证结果显示，运用这个五进制基序关系式演算出的结果与十进制自然数的演算结果是相同的，这样，得出验证结论:“鸡狗牛+牛=鸡牛狗”与”69+4=73”等价。

例二；验证“马狗牛.马÷狗鸡=鸡.狗”。“马狗牛“相当于十进制自然数44(25+15+4=44)，小数点后的“马“相当于十进制自然数0.2(5^(－1）х1=0.2)，把二者合在一起，得出“马狗牛.马=44.2”，再根据位值换算法算出“狗鸡”=17(5х3+2=17)，算出“鸡.狗”=2.6(2+0.2х3=2.6），把换算出的十进制数作四则运算2.6х17，乘积=44.2，与五进制小数”马狗牛·马”的十进制换算值相同。验证结论:“马狗牛.马÷狗鸡=鸡·狗”与“44.2÷17=2.6”等价。竖式如下:

     

(此竖式涉及的乘法关系式有”鸡×鸡=牛；鸡×狗=马马；狗×狗=马牛”，涉及的加法关系式有”鸡+马=狗；马牛+马=鸡”）

综上举例可见，用元序列<0，马，鸡，狗，牛>构造的五进制自然数体系，与我们常用的十进制自然数有着相同的数学性质及完备性，说明自然数的基序本质及关系是由自然物的空间关系推演出的(当然，也可以直接在纸张、屏幕等二维平面上直接用狭义符号构造并推演得到，因为都是符号空间关系的推演），自然数既不是什么神圣尤物，也不是毕达哥拉斯说的”万物的本原本质”，而是人类基于符号空间关系推演出的”事物的基序”，自然数(符号）就是表达基序信息的符号。

6、广义的实物符号序列与狭义的文字符号序列在纸张平面上能够对应、统一，是自然数(符号）体系得以逻辑贯通的奥妙所在

众所周知，自然数不仅无限多，且每个自然数都是独一无二的(本系内的每个自然数只与唯一的一种组合型态形成对应，也即每种组合型态，只表示唯一的一个自然数），本系内任意两个自然数之间，不是”＞“关系，就是”＜“关系，绝不会出现”＝“或“无关系”的情形。

以上所及问题都是对”自然数体系的符号化构造是如何可能的”问题的思考，此问题可具体反映在以下两个问题中，a、为什么有限的几个符号能够构造出无限多的永不雷同的自然数，且任意两个自然数的基序关系都是必然、唯一的？(任意两个自然数的加减乘除，都只有唯一的一个结果）；b、为什么承接在实物序列之后的用狭义符号组合构造的纯符号序列，能够与实物序列中的基序实现逻辑对接与统一？

回答以上问题需要结合自然数体系的构造过程来说。

在上文描述的实物图景的自然情境中，当那个观察者向河堤那头望去(假设从东方向西方看去），河堤上依次分布着”马”，”鸡”，”狗”，”牛”四个动物，他在”马”的近前停下，观察到了这四种动物与自己的空间位置关系，——他西边的第一个是”马”，马的西边是”鸡”(第二个），鸡的西边是“狗”(第三个），狗的西边是”牛”(第四个）。他意识到自己与这四种动物在河堤上的依次分布构成了一个静态的空间序列(画面定格后），他在图纸上把自己所在的位置用符号”0”标记，并用实物或其图像把这个序列在图纸上依次作出了标注，这时，他想，在”牛”的西边是否该再添加上一些新的动物或其它元素物呢？(在自然场景中，新添加的元素物在”牛”的西边，在纸张屏幕平面上，新添加的元素物是在符号”牛”后面、右边）

显然，他确实可以在“牛”的后(西、右）边再添加一些元素物，扩大这个元序列，可他转念一想，即使再添加上两倍的元素物，所构造的元序列仍然是有限的，诚然，即使他添加上三倍的新元素物，他的自然数体系仍然有最大数限制(序列尽头的那个元素物指代的基序数），数体系有上限，显然不能满足日常计数需要，于是他灵机一动，尝试着用既有的几个实物符号作组合，作为对新添加的元素物的指代与标记，于是他用”马0“组合作为对”牛“后面的那个假想元素物a的指代(”马0”组合可不是随意搭配的，而是按符号组合规律，”马0”这个组合正好与排在“牛”后面的元素物a的位置构成对应，只能用这个组合对应表示牛后的那个元素物a），然后在“马0”的后面，继续添加上假想元素物b，用”马马“组合指代(按组合规律，”马马”组合是”马”组合的后继组合）。显然，只要新出现的组合永远不会与前组合雷同，每个组合型态就能够与唯一的一个基序对应，那么符号按规律不断地组合排列下去，就能够虚构出无穷多种或无穷多个元素物，这样，就可以在封闭、有限符号的元序列的后(右）边，添加上无限多的虚拟的新元素物(因为空间无限大），使原本有限的封闭序列，变成开放的无限序列，他的序列就不会有基序局限。

显然，他的思考逻辑上是严密的、可行的，自然数体系事实上就是这样构造的(或者说可以这么构造）。

——他先用狭义符号列出元序列<0，马，鸡，狗，牛>，然后按笔者上文给出的两两组合规律，在纸张上依次组合排列并列出序列，得到”00，0马，0鸡，0狗，0牛，马0，马马，马鸡，马狗，……”。

然后，他用这个序列与实物序列<0，马，鸡，狗，牛>在纸张平面上作对应，可观察到”00”组合与”0”对应；”0马”组合与”马”的空间位置对应(这里的”马”以及后面的鸡、狗、牛是实物图，因无法输入图样，只能用”马”这个文字替代）；”0鸡”组合与”鸡”对应；”0狗”组合与”狗”对应；”0牛”组合与”牛”的位置对应，在此情形下，显然可推导出在实物序列马，鸡，狗，牛之后出现的元素物a(a是一个假想存在的元素物，你可以把a想象成一棵树，也可以想象成一块石头），与组合”马0”的空间位置是对应的，也就是说组合”马0”相当于虚拟、指代了在实物“牛“后出现的实物a，而排列在”马0”组合之后的组合”马马”，则虚拟、指代了在实物元素a后出现的实物b，”马马”组合之后的组合”马鸡”，显然能指代在实物b之后的实物c，……。

至此，自然数体系的符号化构造原理已全部贯通。

——用实物作元序列推导出的基序本质及关系，可通过狭义符号在纸张平面上的组合排列获得无限延展，广义的实物符号与狭义的文字符号在纸张平面上实现了统一。

我们可以把狭义符号在纸张左侧的不断添加，视为是元素物在三维空间(自然界）中的有序出现，反过来说，也可以把自然界中的一排形体物(譬如一排树，一排房屋），视为是一组符号在纸张平面上的左右排列。我们既可以用几棵树或几间屋作为元序列，用于构造实物符号的自然数体系，也可以用若干个文字符号在屏幕或纸张上的排列作为元序列，构造狭义符号的自然数体系。

这两种构造模式本质上是一回事，——都是基于符号空间关系推演出符号的基序本质及关系。

至此，”自然数体系的符号化构造是如何可能的”答案已清晰可见，为了加深读者对上文所述思考的理解，笔者对本章节开始提出的两个问题作回答如下:

a、为什么有限的几个符号能够构造出无限多的永不雷同的自然数，且任意两个自然数的基序关系都是必然、唯一的呢(任意两个自然数的加减乘除，都只有唯一的一个基序结果）？

——元序列符号的两两组合排列，是按同一种组合规律操作的，不仅可以无穷无尽组合排列下去(因为空间无限大），而且永远不会出现回环(递进式组合），也不会出现雷同(滚雪球模式），由于组合排列是递进承接的，所以每一个组合型态都只与唯一的一个基序对应，不断组合下去，就相当于在不断制造自然数(基序）及序列。

b、为什么承接在实物序列之后的用狭义符号组合构造的纯符号序列，能够与实物序列中的基序实现逻辑对接与统一？

——因为在自然界中，若干实物符号形成的空间序列，与构造者在纸张平面上用狭义文字符号构造的序列，它们的空间关系是等价的，都是一维空间的左右关系，故当把元序列中的符号按固定的组合规律在纸张平面上组合并依次排列时，所构造的纯符号的序列实际上是对实物元序列的基序的逻辑化延伸(用符号组合虚拟真实元素物在三维空间中的依次出现），序列中的每个组合型态都指代了一个真实的元素物的基序，符号的不断组合及承接排列，本质上相当于在不断构造自然数(基序）及序列。

7、与本文强相关的几个数论问题

7.1、”0”是否该纳入自然数体系？

十进制自然数中的”0”是不是自然数？此问题的答案学界至今未统一，此问题本文给出的答案已一目了然。——自然数符号体系必须要包括0

目前数学教科书上的自然数理论基本上都是用集合概念描述及定义的，在集合论看来，空集的性质意义与十进制自然数中的符号”0”是等价的，这与本文阐述的空位号的信息内涵也倒是契合的，但是集合论认为空集是基数最小的有限集，而本文中的空位号并不表示基序内涵，所以不能用”最小”这个相对概念来定义描述空位号，加上集合论不能解释”自然数体系中的纯符号组合表示的基序与实物元素的基序是如何统一的”问题，也不能解释”自然数集如何从无限集升级为无限集的”等问题，所以笔者在表达本文思想时基本上回避了集合概念(会引起大量的歧义和认知误解，毕竟用集合概念表达的自然数公理已成为大多数数学人的观念了）。

认为0不应纳入自然数体系的一派，其实忽略了一个认知论条件，即表达元素有无或多少必然要用符号，0虽然不表示基序，但是0这个空位号的确定，对于第一、第二、第n元素的空间关系、基序关系的锚定是必不可少的，且本文也从人类量认知角度明确提出构造数量体系必须从空无号的确立开始(第一步），自然数的功能虽然是人类表达整体事物基序的，但是不能把所有的自然数符号都定性为表达元素物基数信息(多少）的，因为0不表示基序而把0拒之于自然数体系之外显然是错误的(”一个元素也没有”，或”一个元素物也不剩”的量态，除了0之外，其它自然数符号都不能表示！）。

”0”不仅要明确纳入自然数符号体系，学界还应把它的认识论性质作充分的解释与强调，这样更有利于理解自然数的符号本质。

7.2、元序列中打头号可以用任意符号表示，0不是“空位”、“始发”内涵的必然表达者

对于符号化的自然数体系而言，表示空无的符号虽然不可或缺，但并不意味着”0”这个符号是不可或缺的，假如我们用<p、k、u、y>作元序列构造四进制自然数体系，打头号p就是空位号、始发号(谁排在第一位，谁就是始发号、空位号！）。可见，0这个符号虽然表示”空无“内涵，但是0并不是”空无”内涵的唯一表达者，0仅仅是因为在十进制自然数体系和二进制自然数体系中打头排列，才被赋予”空无”内涵的(假如起初0和8两个符号位置对换了，8就有了空无内涵，0则成了7的后继），

自然数体系中的打头号是可以自定义创设的，也就是说，构造者在构造自然数体系时，打头号可以用任意字符表示。

7.3、用十进制自然数计数、数序，是从0开始还是从1开始？

不论各种形式的自然数体系，其元序列中的打头号都表示“空无”(或“始发”），后面的符号才是表示元素具体基序信息的符号，因此，计数或数序应从元序列中的第二个符号开始，不能从第一个符号开始。

事实上，古今中外用十进制自然数计数基数或数序都是从”1”开始的，在本文看来，为什么从”1”开始计数的原因很容易解释，——假如一个元素物也没有，是谈不上计数或数序的，既然有了一堆可数的元素对象，那么逻辑上就意味着“空无”态事实上已被排除，因此应从第二个符号开始计数或数序(元序列中的第二个符号表示第一个元素物，它表示的基序信息是”／”）。

既然计数或数序都要从元序列的第二个符号开始，那么“第0个”就成了伪概念，”0”虽然是十进制自然数体系的第一个符号，但是它表示”空无”，不表示基序，所以”第0个“是矛盾说法，是伪概念。

7.4、阿拉伯数字的十进制自然数序列的前十个排列应写成00，01，02，03，04，05，06，07，08，09

从笔者揭示的自然数体系的组合规律来看，自然数体系的符号化构造有两个规律，第一，任何形式的自然数个体，都是由组合码与元序列码的左右排列构造的。第二，任何形式的自然数序列，都是从两个始发号的左右组合排列开始的。

鉴于以上两个规律的事实性(笔者归纳出的这两个规律是经得起事实检验的），笔者认为，目前的十进制自然数序列前十个排列0，1，2，3，4，6，7，8，9未能明确体现以上两种构造逻辑，应把十进制自然数序列的前十个排列写成00，01，02，03，04，05，06，07，08，09，把目前的前十个排列0，1，2，3，4，5，6，7，8，9作为元序列处理(用“<>“号括起来），这样，不仅明确体现、落实了自然数及其序列的符号化构造性，也突出了元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>的原材料性质。

当然，作为个体的十进制自然数前十个时，也可以写成0，1，2，3，4，5，6，7，8，9(全部略去左侧的0，因为作为左侧空位号的0可以标出，也可以不标出，见4.4.1章节），但是作为自然数序列的前十个排列，0就不能不写了，一方面；自然数序列是一个符号化的整体(自然数序列虽然包含所有自然数个体，但是它不是自然数个体，它是一个整体），作为可视的、形式化的整体，显然要有直观、统一的构造规律，而目前的前十个排列不带始发号0，未能体现出自然数的符号组合之意以及组合规律，因此也不能从排列逻辑上揭示为什么8、9的后继排列是”10”，如果在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的右边分别标上始发号0，这样，08，09的后继就一目了然了，是10(0打头组合完毕，轮到1打头与元序列码组合了）；另一方面，目前的前十个自然数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9与后面的所有自然数明显有构造上的差异，0~9十个符号都是形体独立的符号，而9以后的自然数都是两位数，都是用两个独立符号左右排列构成的，如果把这十个单独符号也视为自然数，明显不符合类的概括归纳原则。

如果把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个符号作为元序列处理，用括号括起(元序列恰恰不能标注成组合式，因为它是由独立的元素物左右排列构成的空间序列，元序列中的1~9十个符号的固定排列相当于九个自然物排成的空间序列），如果用添加了始发号0的00，01，02，03，04，05，06，07，08，09替代目前的十进制自然数序列的前十个排列，这样，组合码00，01，02，03，04，05，06，07，08，09就能分别与元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中的空位号0以及0后继的九个实物符号形成对应，这样，在组合08，09后出现的10，11等所有组合，就理所当然地成了元序列基序的逻辑化延伸），这样，既能突出自然数体系的符号化构造性，也能突出元序列的原始地位以及元序列符号不同于其它自然数的特殊性。

作者已第一时间在微信公众号号和知乎上发表过此文，有明确的原创著作权证明，感兴趣转载请与作者联系。

作者:陈定学，手机号13085057966，邮箱1565456128@qq.com

————————————————————

注解

〔1〕不同进制数的自然数体系，加、减、乘的数学性质肯定是相同的，但是涉及除法，不同进制的自然数会有数学性质上的差异，所以本文中用”理论上讲“作提示。

〔2〕、笔者之所以把十进制自然数前十个写成00，01，02，03，04，05，06，07，08，09是基于两点思考，一是基于对符号组合规律的落实，二是基于空位号可写可不写原则，详细分析见4.4.1章节、4.4.2章节、第六章节；

〔3〕、本文这里的”一维空间”指在指向或屏幕等二维平面上抽象出的一条线性空间，具体说即在纸张平面上左右排列占用的一条线性空间。一维空间包含在二维空间中，二维空间包含在三维空间中。

〔4〕、理论上可后翻，实际号码机没倒翻功能。也不能一次性”进三”，需要分三次执行。

〔5〕、”(0，马〕”是一个左开右闭型区间，解释为不包含””点，以点为界，全包含”马”点的线性空间区间；”(0，鸡〕”则表示以”0”为左界，全包含”鸡”点的空间区间。