概率论与数理统计02：如何研究概率论、随机变量、概率分布

如何研究概率论

我们可以想象一个上帝视角，这样我们可以完全模拟出所有的结果的情况。每一种结果代表一种世界。

在此前提下，我们可以

• 将无限多的结果转化为无限密的空间
• 将每种世界的数量转化为平面的面积

在这种情况下，每种结果是确定的，我们只需要统计不同结果的数量就可以了。但是结果的数量是无限多的，不便于计算，此时我们可以把计算结果的数量转化为计算空间的面积。

例：

• Ω代表平行世界的集合
• ω代表具体每一个世界
• Ω内区域A的面积由P(A)表示：P(白色区域)=0.5 P(Ω)=1

随机变量

随机变量表示随机现象各种结果的变量（一切可能的样本点）。

随机变量可以是数字，也可以是其他形式，例如硬币的正面或反面等。

• 从上帝视角来看，随机变量只不过是一种完全确定的函数f(ω)
• 从人类视角来看，由于不确定自己身处在哪一个世界ω，因此也无法的得知f(ω)的值

概率分布

对于一个随机变量X，若给出了以下两条，我们就说给出了随机变量X的概率分布（也称分布律）

• 随机变量X可能取到哪些值
• 随机变量X取某个值的概率是多大

我们用两种方法来表示概率分布：表格法和方程式表示法

• 表格法

  硬币的向上面	抛出该面的概率
  正面	0.5
  反面	0.5

• 方程式表示法

  P(X=k)=X(ω)=k时区域ω的面积

  例：

  P(X=正面朝上)=0.5

  P(X=反面朝上)=0.5