【课堂实录】正比例函数与一次函数（2）（七下）

教学目标：

A类：独立完成挑战单，（1）根据一次函数解析式绘制图象；（2）归纳作图步骤。

B类：通过课堂对话达成共识：（1）一次函数y=2x+1图象是一条直线；（2）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线。

C类：讨论y=kx+b(k=0)和x=a的图象，命名常函数；讨论是否所有直线都是一次函数图象；一次函数观念得到进一步发展，为进一步探索一次函数图象的规律做好准备。

第一板块：遭遇问题

课前挑战：

1.在平面直角坐标系中做出一次函数y=2x+1的图象（纵横坐标刻度保持一致），并思考回答：

（1）作图步骤是什么？

（2）图象上哪些点比较关键？为什么？

（3）y与x之间具有怎样的变化关系？

（4）y=2x+1的图象一定是“一条直线”吗？为什么？

2.在平面直角坐标系中做出一次函数y=-x+3的图象（纵横坐标刻度保持一致），并思考回答：

（1）作图步骤是什么？

（2）图象上哪些点比较关键？为什么？

（3）y与x之间具有怎样的变化关系？

（4）y=-x+3的图象一定是“一条直线”吗？为什么？

3.请提出你感兴趣的新问题。

典型问题：

1.作图过程中出现一些基础性问题：①大多数学生虽然意识到要给定x的值，确定对应的y值，再以此数对为坐标进行描点作图，却没有主动列表格整理数据；②求取x，y的对应数值时出错，甚至把x的值与y的值颠倒；③思维定势：原点一定在图象上，画出折线。

2.因为作图出现了一些问题，所以有大约四分之一的学生认为y=2x+1的图象不一定是直线，或不是直线。认为其图象是直线的学生，有的没有给出明确的解释，有的认为自己已经画出直线了，无需解释，有的用函数的定义解释，“因为每个x的值都对应唯一确定的y值”。

第二板块：课堂对话

师：给出一次函数解析式y=2x+1，你能画出它的图象吗？

生：能！

师：请看这个图象画得对不对？为什么？

【课堂实录】正比例函数与一次函数（2）（七下）

生1：他画的不对，应该是一条直线。

师：为什么？

生2：根据解析式，x=0时，y=1，图象应该过（0，1）点，而原点坐标是（0，0）。

师：看来描点作图的过程中出了点小问题，把这个点改过来（如下图），函数图象一定是一条直线吗？

【课堂实录】正比例函数与一次函数（2）（七下）

生1：是！

（一部分学生比较确信，一部分学生显得不太确定。）

师：为什么呢？

生2：我描了7个点，它们正好都在一条直线上啊！

师：大家同意吗？

生3：函数图象上有无数个点，你只描了7个，不能证明它就是一条直线。

生1：我觉得给这个解析式减去一个1就变成正比例函数了，正比例函数就是一条直线。

生3：你怎么证明正比例函数就是一条直线？

生1沉默。

师：y=2x+1的图象上有无数个点，大家同意吗？

生：同意！

师：要想说明它是一条直线，你可以怎么做？

生：再多描点吧！

生：可是我的纸只有这么大，画也画不完啊！而且手画总是有误差的。

生：可以用电脑画！

师：很聪明，我们用几何画板来试试看，让它帮我们尽量多地描点。

演示：给定函数解析式，规定x值从-4起，取值间隔为1，坐标单位刻度为1，描点100个。（学生看得很惊奇。）

师：还需要再多描点吗？

生：需要！

师：刚才我们描的点坐标值都是哪类数？

生：整数。

师：你还想让坐标值取哪类数？

生：分数，小数。

演示：根据学生的意见，将x取值起点调整为-3/7，取值间隔调整为1/3，描点300个。x取值起点调整为-23.461，取值间隔调整为5.796，描点500个。

师：你觉得够了吗？还用再描吗？

生：够了，不用了。y=2x+1的图象就是一条直线。

生4：可是你并没有描出所有点！

生：怎么可能全都描出来呢？根本不可能啊！

师：很显然，尽管我们已经描了很多点，但是并没有描出函数图象上的所有点，这根本不可能做到。但是绝大部分同学已经确信，它的图象就是一条直线。请问，这个猜想能不能被清晰、严谨地推理证明出来呢？

生：好像不能吧？

师：那我们能不能承认y=2x+1的图象就是一条直线？

生：能！

生：不能！

师：如果我们无法证明它是对的，又要承认它是对的，那就意味着它是“定理”还是“公理”？

生：哦，它是“公理”！“公理”是无法证明的，是不证自明的。

师：是的。我们通过大量描点画图，已经清晰地直观地感受到它就是一条直线，但是它不能被严谨地证明，这时候，如果我们承认它的“合法性”，它就叫作“公理”。如果它可以被清晰地证明，它就叫什么？

生：定理！

师：也就是说，它是通过画图、几何直观得到的结论，是无法证明的。如果你心里仍然不踏实，仍然不确信它就是一条直线，可以怎么办？

生：继续多描点！

师：是的！因为无法推理证明得到，只能通过几何直观，多描点，直到你能清晰地感觉到，“看”到，它就是一条直线！请问：谁的图象是一条直线？

生：y=2x+1。

师：y=2x+1是什么？

生：是一条直线。

生：是一次函数。

师：从数的角度讲，它是什么？

生：一次函数。

师：从形的角度讲，它是什么？

生：一条直线。

师：承认y=2x+1的图象是一条直线，有什么好处？我再画它的图象还需要描那么多点吗？

生：不用了，只要两个点就行，因为“两点确定一条直线”啊！

生：那画图过程就简化多了！

师：在此基础上，你还什么新发现，或者提出什么新问题？

生：y=-x+3的图象也是一条直线！因为我也描点画了。

师：对呀，我们刚才只研究了y=2x+1的图象，另一个一次函数y=-x+3也是一条直线吗？

生：是！

师：为什么？

生：和刚才一样，通过描点画图，我确信它也是一条直线。

师：你还能提出更具有“一般性”的问题吗？

生：是不是任意一次函数的图象都是一条直线？

师：这个问题太好了！任意一次函数y=kx+b(k≠0)的图象一定是一条直线吗？

生：是！

（有的学生不确信。）

师：如果是，它是“公理”还是“定理”？

生：“公理”，因为不能证明。

师：既然是“公理”，那就仍然要靠什么呀？

生：多画图。

师：对，要靠“几何直观”！y=kx+b(k≠0)，k可以取哪些类型的数？b可以取哪些类型的数？

生：只要k≠0就行，取正数、负数都可以，分数、小数、整数都行。b没有限制，任意有理数都行。

师：现在每个人独立写一个一次函数，每个人都来画图。

学生画图，涉及k，b的不同取值情况，如：y=3x+2，y=0.5x+6，y=-5x-2，y=-1/3 x+1等。发现的有个别图象不是直线的，及时讨论，有计算错误或其他原因出错。

师：现在你是否确信任意一次函数的图象都是直线？

生：确信！

生：不确信。

师：不确信的话怎么办？

生：再画其他一次函数。还可以用电脑画。

老师再次用几何画板演示作图，先确定一个k值不变，改变b的值；再确定一个b值不变，改变k的值，图象都是直线。

师：你确信y=kx+b(k≠0)的图象是直线吗？

生：确信！

第三板块：拓展延伸

师：y=kx+b，当k=0时，它的图象是直线吗？

生：那就不是一次函数了。

生：y=kx+b，当k=0时，就变成y=b了。

师：没错，这时候它的确不是一次函数了，不是一次函数也没关系呀！现在的问题是，它的图象是不是一条直线呢？

生：是！是一条与y轴垂直的直线，垂足就是(0，b)点。

师：你能画出来吗？

学生板图：

【课堂实录】正比例函数与一次函数（2）（七下）

师：大家同意吗？

生：这是b为正数的情况，b也可以是负数呀！b为负数，图象就在x轴下面了。

师：b可以是正数、负数，还可以是什么数？

生：还可以是0！

师：b取0的话，也就是y=0了，图象是什么？

生：还是直线，就和x轴重合了！

师：y=b不是一次函数了，它是不是函数？

生：是。

师：它应该叫什么函数呢？b是什么数？

生：任意数。

生：常数。

师：y等于一个常数，那么这个函数叫什么函数？

生：常数函数？

师：差不多就是这个意思，我们叫它“常函数”。常函数的图象什么样？

生：垂直于y轴的一条直线。

师：x=a，a为常数，它的图象又是什么样的呢？

生：垂直于x轴的一条直线，垂足就是（a，0）点。

生5：它还是函数吗？x等于一个常数，一个x的值对应无数个y的值，不符合函数定义了。

师：刚才大家通过“几何直观”已经得到一个“公理”，任意一次函数的图象都是直线。那么，平面直角坐标系中的任意一条直线都是一次函数图象吗？

生：不是。垂直于y轴的直线是常函数的图象。

生：还有垂直于x轴的直线也不是，它不是函数。

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