一次函数

一、正比例函数

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

二、一次函数

1、定义：

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，为正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2、一次函数的一般形式

一次函数的一般形式为y= kx+b，其中k，b为常数，k≠0，
一次函数的一般形式的结构特征：
1k≠0 2x的次数是1 3常数b可以为任意实数

温馨提示：

• 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数
• 一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数
• 如果一个函数一次函数，那么含有自变量x的式子是一次的，系数k不扥与0，而b可以为任意实数
• 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式
• 一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程

三、待定系数法

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。

待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：

• 设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）
• 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程
• 解方程，求出待定系数k
• 将求得的待定系数k的值代入解析式

待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：

方法类似于求正比例函数的解析式

• 设含有待定系数的函数解析式为y=kx+b（k≠0）
• 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k、b的二元一次方程组
• 解方程组，求出待定系数k、b的值
• 将求得的待定系数k、b的值代入解析式

四、正比例函数的图像特征与性质

正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过原点（0，0）的一条直线

• k>0时，图像过第一、三象限，y随x的增大而增大
• k<0时，图像过第二、四象限，y随x的增大而减小

温馨提示：

• 通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图像时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线
• 当k>0时，函数y = kx（k≠0）的图像从左向右呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图像从左向右呈下降趋势
• 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴，；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴

五、一次函数的图像与性质

1、一次函数的图像特征

一次函数y=kx+b（k≠0）的图像时一条直线，通常也称为直线y=kx+b。一方面，一次函数y= kx+b的图像可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，故画出一次函数的图像时，只要先描出两点，再过这两点画直线就可以了，为了方便，常用图像与坐标轴的两个交点（0，b）和（-,0)
来画一次函数的图像

2、一次函数的性质

• k >0,b>0，图像过第一、二、三象限，y随x的增大而增大
• k>0,b<0，图像过第一、三、四象限，y随x的增大而增大
• k<0,b>0，图像过第一、二、四象限，y随x的增大而减小
• k<0,b<0，图像过第二、三、四象限，y随x的增大而减小

温馨提示：

• 直线y= kx+b（k≠0）的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是在y轴的正半轴上还是在y轴的负半轴上，还是在原点。综合起来决定直线y=kx+b（k≠0）在直角坐标系中的位置
• y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关
• 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大值与最小值。但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制

六、k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0）的关系

直线y= kx+b（k≠0），令y= 0，则x=-,即直线y=kx+b与x轴交于（-,0），则：

• 当->0，即k、b异号，直线与x轴交于正半轴
  *当-=0，即b=0，直线经过远点
• 当-<0，即k、b同号时，直线与x轴交于负半轴

七、一次函数与正比例函数的区别于联系

1、区别

• 解析式：正比例函数：y=kx（k≠0）；一次函数：y=kx+b（k≠0，b≠0）
• 图像：正比例函数过原点的直线；一次函数是直线
• k、b符号的作用：正比例函数b=0，k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限；一次函数k的符号决定其增减性，b的符号决定直线与y轴的交点位置，k、b的符号共同决定直线经过的象限
• 求解析式的条件：正比例函数只需要一对x、y的对应值或一个点的坐标；一次函数需要两队x、y的值或两个点的坐标

2、联系

• 正比例函数是特殊的一次函数
• 正比例函数图像与一次函数的图像的画法一样，都是过两点画直线
• 一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图像可以看做是正比例函数y=kx（k≠0）的图像沿y轴向上（b>0)或向下（b<0)平移|b|个单位长度得到的，由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行
• 一次函数与正比例函数有着共同的性质
  ①当k>0时，y的值随x的增大而增大；②当k<0时，y的值随x的增大而减小

八、一次函数与一元一次方程

思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值；

• 从“数”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
• 从“形”上看：方程ax+b = 0,(a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标。

温馨提示

• 从函数值的角度看，可令y=0，得方程kx+b=0，解方程x=-
• 从图像上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标

九、一次函数与二元一次方程组

1、二元一次方程与一次函数

一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式。因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线

2、关系

• 从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
• 从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标

知识延伸

• 二元一次方程组的图解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
• 联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程，即可确定两条直线的交点坐标

十、一次函数与一元一次不等式

1、不等式形式：

任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0(或ax+b<0)(a、b式常数，且a≠0）的形式

2、与函数关系

• 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；
• 从函数图像的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件

温馨提示

• 转化思想：把解一元一次不等式问题转化为一次函数的图像问题来解决
• 当一次函数y= kx+b（k≠0）中y>0(或y<0)时，它就变成了一元一次不等式kx+b>0(kx+b<0).kx+b>0的解是一次函数值为正值时自变量的取值范围，对应的函数图像在x轴的上方；kx+b<0的解集时一次函数的函数值为负时自变量的取值范围，对应的函数图像在x轴的下方

十一、一次函数的实践与探索

1、数形结合思想

数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析，研究，解决问题的一种思想方法，数形结合思想在解决一次函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用

2、转化的思想

在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，是利用一次函数解决问题的典型题目，它的实质是将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题加以解决

3、利用一次函数最值解决最优化问题的方法

最值问题是中考中的热点与难点问题，一次函数y= kx+b（k、b是常数，k≠0）中的自变量x的取值范围是全体实数，其图像是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值。但由于实际问题在那个，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，其图像为线段或射线，故其就有了最值。在求函数的最值时，我们赢先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。

4、构造一次函数模型解决动态集合问题的方法

在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置干洗机数量关系的变化，有些问题能够用一次函数来解决图形运动的变化规律，解决动态集合问题，要动中有静，动静结合，能够在运动变化中提高想象能力，综合分析能力。