高维波动方程的柯西问题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-05-21 23:50 被阅读0次

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珍珠用书会之《高效能人士的七个习惯》——人际关系的本质（3）
解析函数与柯西黎曼方程
初边值问题的分离变量法

高维波动方程的柯西问题

基本假设：

膜厚度小，均匀，面密度为 $\rho$
膜的平衡位置在一平面内，膜上各点在垂直这一平面的方向上作微小振动，膜所受到的外力均与该平面垂直.
膜柔软，没有抵抗力.

膜振动方程
$\rho\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=T\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+F(x,y,t)$
令 $a^2=\dfrac{T}{\rho},\;\;f=\dfrac{F}{\rho}$ ，于是得到膜震动方程的标准形式
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f$

其中 $f$ 为自由项，收外力 $F$ 的振动称为强迫振动，因此也称为膜的强迫振动方程. 当 $f\equiv0$ 时，方程是其次的，此时的方程为
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$
称为膜的自由振动方程，上面两个方程也称为二维波动方程.

初始条件的提法：
$\begin{cases} u(x,y,0)=\varphi(x,y)\\ \dfrac{\partial u}{\partial t}(x,y,0)=\psi(x,y) \end{cases}$
其中 $\varphi(x,y)$ 及 $\psi(x,y)$ 为已知函数.
边界条件的提法通常有三种：

第一类边界条件

膜的边界固定或按照一已知函数随时间而变化
$u(x,y,t)|_{\Gamma}=0$
或
$u(x,y,t)|_{\Gamma}=\mu(x,y,t)$
其中 $\Gamma$ 为薄膜的边界在 $Oxy$ 平面上的投影曲线， $\mu(x,y,z)$ 为已知函数. 这种边界条件称为第一类边界条件.

第二类边界条件

薄膜的边界可以在一个光滑的柱面上自由滑动，不受摩擦力的作用. 此时边界条件的提法为
$\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}\bigg|_{\Gamma}=0$
或更一般地为
$\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}\bigg|_{\Gamma}=\mu(x,y,t)$
其中 $\mu(x,y,z)$ 为已知函数. 这种边界条件称为第二类边界条件.

第三类边界条件

将膜固定在弹性支承上，此时，边界条件归结为
$\left(\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\sigma u\right)\bigg|_{\Gamma}=\mu$

其中 $\sigma$ 为已知正数. 这种边界条件称为第三类边界条件.

同样的，非齐次的三位波动方程(如电磁波或声波在空间中传播)

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)+f(x,y,z,t)$

奇次情况为
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$

球平均法

柯西问题就是初值问题.

考察三维波动方程的柯西问题
$\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y,z)\\ \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x,y,z) \end{cases}$
若 $\varphi,\phi$ 具有球对称性，这时 $\varphi,\psi$ 仅为变量 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 的函数，我们可寻求只依赖于 $t$ 与 $r$ 的解 $u=u(r,t)$ 。这样可以写成
$\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)$

若取 $v=ru$ 为未知函数，则上式可以变成
$\dfrac{\partial^2v}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2v}{\partial r^2}$
我们会发现这个与一维齐次波动方程形式相同，因此我们可以将 $v$ 通过达朗贝尔公式求出，于是可以得到具有球对称形式的解.

定理

设 $\varphi\in C^3,\psi\in C^2$ ，那么三维波动方程的柯西问题
$\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y,z)\\ \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x,y,z) \end{cases}$
存在唯一解

$\displaystyle u(x,y,z,t)=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^{M}}{\iint}\varphi\text{d}S\right)+\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^M}{\iint}\psi\text{d}S$

其中 $S_{at}^M$ 为以点 $M(x,y,z)$ 为球心、 $at$ 为半径的求面， $\text{d}S$ 为球面的面积微元. 上式称为泊松公式.

降维法

研究二维波动方程的柯西问题
$u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})$
$\begin{cases} u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y) \end{cases}$

书上说这时不能用球平均法，这个原因我们留到最后来提.

$\begin{aligned} \tilde{u}(x,y,z,t) =&\tilde{u}(M,t)\\ =&\dfrac{1}{2\pi a}\bigg[\dfrac{\partial}{\partial t}\underset{\Sigma_{at}^{M}}{\iint}\dfrac{\varphi(\xi,\eta)\text{d}\xi\text{d}\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}\\ &+\underset{\Sigma_{at}^{M}}{\iint}\dfrac{\psi(\xi,\eta)\text{d}\xi\text{d}\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{2\pi a}\bigg[\dfrac{\partial }{\partial t}\int_{0}^{at}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\varphi(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)}{(at)^2-r^2}r\text{d}\theta\text{d}r\\ &+\int_{0}^{at}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\psi(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)}{\sqrt{(at)^2-r^2}}r\text{d}\theta\text{d}r\bigg] \end{aligned}$

他的确是与 $z$ 无关的函数，因此该式子就给出所考察的二维波动方程的柯西问题的解，他称为二维波动方程柯西问题的泊松公式.

非齐次波动方程柯西问题的解

我们已经有过齐次的解，根据叠加原理，我们知道只需要求

$u_{tt}=a^2\Delta u+f(x,y,z,t)$
$\begin{cases} u|_{t=0}=0\\ u_{t}|_{t=0}=0 \end{cases}$
的解即可.

$\begin{aligned} u(x,y,z,t) =&\dfrac{1}{4\pi a}\int_{0}^{t}\underset{S_{a(t-\tau)}^M}{\iint}\dfrac{f(\xi,\eta,\zeta,\tau)}{a(t-\tau)}\text{d}S\text{d}\tau\\ =&\dfrac{1}{4\pi a^2}\int_{0}^{at}\underset{S_r^M}{\iint}\dfrac{f(\xi,\eta,\zeta,t-\frac{r}{a})}{r}\text{d}S\text{d}r\;\;(\tau=t-\frac{r}{a})\\ =&\dfrac{1}{4\pi a^2}\underset{r\leqslant at}{\iiint}\dfrac{f(\xi,\eta,\zeta,t-\frac{r}{a})}{r}\text{d}V \end{aligned}$

其中 $\text{d}V$ 表示体积微元，积分在以 $(x,y,z)$ 为球心、以 $at$ 为半径的球体中进行. 因此在时刻 $t$ ,位于 $M(x,y,z)$ 处解 $u$ 的数值由函数在时刻 $\tau=t-\frac{r}{a}$ 处的值在此球中的提及积分表出，称这样的积分为推迟势.

回到之前的问题，为什么二维波动方程不能用球平均法的问题，我看了看网上的解答是这样说的：
三维波动方程的解只和light cone 表面有关系，而二维波动方程的解和整个 light cone 内的点都有关系。奇数维度的波动方程都符合Huygens principle而偶数维度的都不符合

注：

奇数维是大于 1 的
http://www.docin.com/p-1053788523.html

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