聚类分析：k-means和层次聚类

尽管我个人非常不喜欢人们被划分圈子，因为这样就有了歧视、偏见、排挤和矛盾，但“物以类聚，人以群分”确实是一种客观的现实——这其中就蕴含着聚类分析的思想。

前面所提到的机器学习算法主要都是分类和回归，这两类的应用场景都很清晰，就是对分类型变量或者数值型变量的预测。聚类分析是一种根据样本之间的距离或者说是相似性（亲疏性），把越相似、差异越小的样本聚成一类（簇），最后形成多个簇，使同一个簇内部的样本相似度高，不同簇之间差异性高。

有人不理解分类和聚类的差别，其实这个很简单：分类是一个已知具体有几种情况的变量，预测它到底是哪种情况；聚类则是尽量把类似的样本聚在一起，不同的样本分开。举个例子，一个人你判断他是男是女这是分类，让男人站一排女人站一排这是聚类。

聚类分析算法很多，比较经典的有k-means和层次聚类法。

k-means聚类分析算法

k-means的k就是最终聚集的簇数，这个要你事先自己指定。k-means在常见的机器学习算法中算是相当简单的，基本过程如下：

• 首先任取（你没看错，就是任取）k个样本点作为k个簇的初始中心；
• 对每一个样本点，计算它们与k个中心的距离，把它归入距离最小的中心所在的簇；
• 等到所有的样本点归类完毕，重新计算k个簇的中心；
• 重复以上过程直至样本点归入的簇不再变动。

k-means的聚类过程演示如下：

k-means聚类过程

k-means聚类分析的原理虽然简单，但缺点也比较明显：

• 首先聚成几类这个k值你要自己定，但在对数据一无所知的情况下你自己也不知道k应该定多少；
• 初始质心也要自己选，而这个初始质心直接决定最终的聚类效果；
• 每一次迭代都要重新计算各个点与质心的距离，然后排序，时间成本较高。

值得一提的是，计算距离的方式有很多种，不一定非得是笛卡尔距离；计算距离前要归一化。

层次聚类法

尽管k-means的原理很简单，然而层次聚类法的原理更简单。它的基本过程如下：

• 每一个样本点视为一个簇；
• 计算各个簇之间的距离，最近的两个簇聚合成一个新簇；
• 重复以上过程直至最后只有一簇。

层次聚类不指定具体的簇数，而只关注簇之间的远近，最终会形成一个树形图。

层次聚类示例

通过这张树形图，无论想划分成几个簇都可以很快地划出。

以下以癌细胞细据为例，演示K-means和层次聚类法的过程。

> library(ISLR)
> nci.labels = NCI60$labs
> nci.data = NCI60$data
> 
> sd.data = scale(nci.data)
> data.dist = dist(sd.data)
> plot(hclust(data.dist),labels = nci.labels, main = "Complete Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") # 默认按最长距离聚类
> plot(hclust(data.dist,method = "average"),labels = nci.labels, main = "Average Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") # 类平均法
> plot(hclust(data.dist),labels = nci.labels, main = "Single Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") #最短距离法

Complete Linkage Average Linkage Single Linkage

可见选择不同的距离指标，最终的聚类效果也不同。其中最长距离和类平均距离用得比较多，因为产生的谱系图较为均衡。

> # 指定聚类数
> hc.out = hclust(dist(sd.data))
> hc.clusters = cutree(hc.out,4)
> table(hc.clusters,nci.labels)
           nci.labels
hc.clusters BREAST CNS COLON K562A-repro K562B-repro LEUKEMIA MCF7A-repro
          1      2   3     2           0           0        0           0
          2      3   2     0           0           0        0           0
          3      0   0     0           1           1        6           0
          4      2   0     5           0           0        0           1
           nci.labels
hc.clusters MCF7D-repro MELANOMA NSCLC OVARIAN PROSTATE RENAL UNKNOWN
          1           0        8     8       6        2     8       1
          2           0        0     1       0        0     1       0
          3           0        0     0       0        0     0       0
          4           1        0     0       0        0     0       0
> 
> plot(hc.out,labels = nci.labels)
> abline(h=139,col="red") # 切割成4类

层次聚类划分成4类

图中一条红线将簇划分成4类，很容易看出哪些样本各属于哪一簇。

以上是层次聚类法的结果，但如果用k-means聚类的话，结果很可能就不一样了。

> # k-means聚类
> set.seed(2)
> km.out = kmeans(sd.data,4,nstart = 20)
> km.clusters = km.out$cluster
> table(km.clusters,hc.clusters) # 两种聚类结果的确有差异，k-means的第2簇与层次聚类的第3簇一致
           hc.clusters
km.clusters  1  2  3  4
          1 11  0  0  9
          2  0  0  8  0
          3  9  0  0  0
          4 20  7  0  0