对数函数：2011年理数大纲卷题22

对数函数：2011年理数大纲卷题22

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-05 11:10 被阅读0次

对数函数：2011年理数大纲卷题22

（Ⅰ）设函数 $f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}$ ，证明：当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ；

（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为 $p$ . 证明∶ $p \lt (\dfrac{9}{10})^{19} \lt \dfrac{1}{e^2}$ .

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$

函数解析式可化为：

$f(x)=\ln(1+x) + \dfrac {4} {x+2} -2$

$f'(x) = \dfrac {1} {1+x} - \dfrac {4}{(x+2)^2}$

$= \dfrac {(x+2)^2-4(1+x)}{(1+x)(x+2)^2}$

$= \dfrac {x^2}{(1+x)(x+2)^2}$

$f(0)=0,\; f'(0)=0$

当 $x \gt 0,\; f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增；

所以， $f(x) \gt 0$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

依题意可知，从 100 张卡片中连续抽取20 次，可能得到 $100^{20}$ 种结果；其中每一种出现的机会是均等的。

其中，号码互不相同的结果数量为 $100 \times 99 \times 98 \cdots 81$

所以，概率为

$p =\dfrac{100 \times 99 \times 98 \cdots 81}{100^{20} }$

$=(\dfrac{99\times81}{100^2}) \times (\dfrac{98\times82}{100^2})\cdots \times (\dfrac{90}{100})$

$99\times81 \lt (10\times9)^2$

$98\times 82 \lt (10\times9)^2$

$(100-1-n) (81+n)=(10\times9)^2-81+18n-n^2$

$=(10\times9)^2-(9-n)^2$

当 $0 \lt n \lt 10$

$0 \lt (100-1-n) (81+n) \lt (10\times9)^2$

所以，

$p \lt (\dfrac {9} {10})^{19}$

在前节中已经证明：当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ；

所以，

$f (1+ \dfrac {1} {9}) = \ln ( \dfrac {10} {9}) - \dfrac {2} {19} \gt 0$

所以，

$19 \ln (\dfrac {10} {9}) \gt 2$

$(\dfrac {10} {9})^{19} \gt e^2 \gt 0$

所以
$p \lt (\dfrac {9} {10} )^{19} \lt \dfrac {1} {e^2}$ .
证明完毕.

【提炼与提高】

本题将概率、对数函数、导数和不等式综合在一个大题中，体现了当前高考命题的方向。

本题的另一个特色在于：问题Ⅱ的解答需要用到问题Ⅰ中得出的结论，这体现了对于能力的考查。

学习数学具体学什么？简单说来，就是不断学习新的定理和公式，再用新掌握的公式和定理解决具体问题。

高考的目的是为高校选拨人才。如果一名考生在有限的考试时间内能够迅速地完成一个公式的推导，然后马上使用这个公式解决更多问题，那就表明这名考生不仅掌握了相应的基础知识，而且具备较强的学习能力。

这种『现蒸热卖』的命题风格，是一个科学的方向，在最近十年的高考中经常使用。一定要重视。

从难度来说，本题难度适中，可以作为备考初期的练习，也可以用作同步强化练习。

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