数学思想方法揭秘-35后记20

  归纳和演绎是两种基本的逻辑思维方法。本篇讲归纳法，本来不想写这些，因为这两种比较简单，并且市面上关于归纳、演绎的书籍资料太多了，每本思维学书籍和很多数学书中都有它们，没什么好写的，但不写感觉本系列又不完整，故简略介绍下。

  借用百度词条来学习下概念，归纳推理和数学归纳法，其中的重点：

  1）传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

  2）虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它实际上属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

  不完全归纳推理得出的结论不保证一定正确，因为只考察了部分样本，可能会出现'黑天鹅'。即便发现1亿只天鹅都是白色的，也不能确保归纳得出的结论'所有天鹅都是白色的'是完全正确的，可能某个地方有没见过的黑天鹅。

解题实战

这里用一道高中数学题来讲归纳法和数学归纳法。

数学归纳法很好理解，它是自然数情况下的无穷递推。首先要证明初始情况下的结论成立，再证明递推关系也成立，根据这个递推关系，一直递推，一而二，二而三，三而四，以至无穷。好比我们建多层楼房，一层一层往上建就是递推，但首先要保证最底层的基础是有的，是牢靠的成立的，否则便是空中楼阁。

这题的题型特征很符合用数学归纳法来证明，和整数、自然数有关的函数和数列都可考虑数学归纳法。

思维过程如下。

观察n=k和n=k+1的结论，很容易想到将这这两个式子相减，故只需证明：

,这个就是k到k+1的关系。继续进行恒等变形(恒等变形和换元法一样，是个基本功)。，这其实是个函数，只需证明在x

故n=k+1时结论也成立。

  其实根据对数的运算性质，乘法变加法，加法变乘法，即lna+lnb=lnab，上面的递推可以变成累加(叠加)形式，不需要用到数学归纳法，但可以通过数学归纳法探索出要使用这个结论。

当然洞察力强的也可一眼看透，运用溯源思维，

，整体到局部，不等式左右两边局部一一对应，得出只要证明：

也就是只要证明：。

进行归纳、类比、抽象和合情合理猜想(设想)时要相信世界万物包括数学对象是和谐的、统一的，有秩序的、有内在联系的，有规律的，有对应的，是相应的。

  数学归纳法有多种形式，有兴趣可找这方面的参考书籍去学习，本系列主要是讲述如何悟道数学思维和数学思想方法，点化启迪开窍学生数学思维，传授数学知识不是本系列的目标，也没兴趣。数学知识比较好学，一些高中生还可自学，好的数学知识参考书太多了，但把数学思想数学思维真正讲透彻的书很少，这就是要写本系列的原因。

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