高考数学锦囊：2021年新高考数学全国卷X题19

高考数学锦囊：2021年新高考数学全国卷X题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-28 22:40 被阅读0次

本文按照以下指导思想编写：面对有困难的学生，教师应当避免把答案直接告诉学生，而是把一些有价值的思路提供给学生，让学生在提示下经过自己的努力找出解答的方法，最终学会自己独立解题。
我们以问答的形式提供解题的思路。

2021年新高考数学全国卷X题19

分值：12分

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ . 已知 $b^2=ac$ ，点 $D$ 在边 $AC$ 上， $BD \sin \angle ABC = a \sin C$ .

（1）证明： $BD=b$ ;

（2）若 $AD=2DC$ ，求 $\cos \angle ABC$ .

【解题锦囊】

问题1较为简单，在此仅提供问题2的提示。

$\mathbb{Q:}$ 图中有几个三角形？

$\mathbb{A:}$ 图中有三个三角形： $\triangle ABC, \triangle BDA, \triangle BDC,$

$\mathbb{Q:}$ 哪些条件比较直观？假如我们暂时忽略某些条件，是不是可以较快地把图形画出来？

$\mathbb{A:}$ 以下条件较为直观： $BD=b,\;AD=2DC$ ;

我们暂时忽略这个条件： $b^2=ac$ ,

画出以下图形：

$\mathbb{Q:}$ 在这个简图中，有哪些量不变？哪些量在变化？变化的量之间存在哪些联系？选择哪个量作为自变量，函数关系比较容易理解？

$\mathbb{A:}$ 不变量有： $BD, AD, DC$ ;

变化的量如下： $BA, BC, \angle ABC$ ,

$\angle BDA, \angle BDC$

在变化过程中， $\triangle BDA, \triangle BDC$ 存在共边关系，而且有一对角互为补角： $\angle BDA+\angle BDC=180°$

由互补关系可以提出： $\cos\angle BDA+\cos\angle BDC =0$

依据余弦定理， $BA,BC$ 两边的长可以根据这两个角的余弦值计算得出；

$BA^2=AD^2+BD^2 - 2 AD \cdot BD \cdot \cos\angle BDA$

$BC^2=DC^2+BD^2 - 2 DC \cdot BD \cdot \cos\angle BDC$

$\mathbb{Q:}$ 我们的待求量是什么？为了求出它，有哪些比较容易想到的方法？存在哪些困难和障碍？

$\mathbb{A:}$ 我们的待求量是 $\cos \angle ABC$ . 可以用余弦定理计算：

$\cos\angle ABC = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

目前的困难在于： $a,c$ 两边的长是未知的.

那么，这两边的长又应当如何求出呢？

如果列方程，应当以谁为元，又以哪个等式为框架（拱心石）呢？

最后一个问题：

$\mathbb{Q:}$ 有哪些题可供我们参考？

$\mathbb{A:}$ 2015年理数全国卷B题17

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