根据解题者对问题的认知情况,至少有这么两种不同的情形:对所涉及的概念或概念之间的关系是清晰的;对所涉及的概念或概念之间关系是不清晰的(至少是不完全清晰)。
如果解题者对问题的概念或概念的关系完全不知,这个问题对解题者是不可解的,当然也不在讨论范围之内了。
如果解题者对概念及概念间的关系是清晰的,那么他的数学思维就是演绎推理,只要不出现失误,那么他会正确地解决问题。
如果解题者对概念或概念间的关系是不清晰的,那么他的数学思维就会是合情推理,他需要靠一些猜想来弥补概念以及概念间的关系,就是预先假设某个他需要的结论(大前提)是正确的。
也就是说,数学思维的基本形式是按三段论这样的模式进行的:
大前提:M 的元素都有性质 P。
小前提:S 是 M 的子集。
结论:S 的所有元素都有性质 P 。
演绎推理是在大前提是正确的情形下进行的数学思维,而合情推理是在猜想的某大前提似真的情形下进行的数学思维。
那么要判断他解决问题是否正确,需要从三个角度来进行判断:
(1)他用的大前提是什么?大前提是否正确?
(2)他的小前提是什么?小前提与大前提的对应是否正确?
(3)他运用三段论的格式是否正确?
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