美文网首页我们爱数学
趣味数学:葫芦娃七兄弟交换宝物

趣味数学:葫芦娃七兄弟交换宝物

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-30 22:38 被阅读0次

    2021年希望杯全国数学邀请赛五年级组题10

    葫芦娃七兄弟各有一件宝物,每一个葫芦娃都送出自己的宝物,也得到另一个葫芦娃的宝物,但不允许任意两个葫芦娃互相交换宝物。一共有多少种不同的交换方案?


    【解析】

    首先,仔细读题,并正确地理解规则:不允许任意两个葫芦娃互相交换宝物。

    这句话的意思是:两个葫芦娃互相交换是不允许的,三个或者四个葫芦娃循环,则规则允许的。

    按照以上规则,葫芦七兄弟有两类分组方案:可以把七兄弟全部放在一个大组中;也可以把七兄弟分为两个组,一组3人,另一组4人。

    如果七兄弟全在一个组中,交换宝物的方案有 A^6_6=720

    如果把七兄弟分成两个组(分数分别为3人、4人),分组的方案有 C^3_7 种;

    对每一种分组方案,可以分以下两步确定交换方案:

    第一步,3人小组交换宝物,有 A^2_2 种;

    第二步,4人小组交换宝物,有 A^3_3 种;

    因此,分成两组的交换方案共有 C^3_7\times A^2_2\times A^3_3=420

    两类方案共计有 A^6_6+C^3_7\times A^2_2\times A^3_3 = 1140 种.


    【提炼与提高】

    本题的解答涉及以下知识:

    (1)分类和分步,加法原理和乘法原理;

    (2)排列与组合

    (3)圆周排列

    对于五年级的孩子来说,能够掌握加法原理和乘法原理的人并不少。但是,要在类似这样的大题中综合应用,就只有少数人能够做到。


    相关文章

      网友评论

        本文标题:趣味数学:葫芦娃七兄弟交换宝物

        本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/jheaprtx.html