数学严格化的相对性

数学严格化的相对性

诗曰：

结绳记事意如何，道路艰难曲折多。

呓语妄谈严格化，求精求美费消磨。

话说数学是一门关于形、量及模式的科学， 是不断发展、变化和丰富的学科，同时也是不断改进、更新和进步的学科。数学的发展遵循了从初级到高级、从简单到复杂、从偶然到必然和从不严格到严格的发展规律， 其中数学从不严格到严格的过程实际上是促进其自身不断发展和丰富的动力之一。粗略地说，数学的内容经历了不断严格化的过程。数学的严格化过程反映了人们对自然界和数学本身的抽象世界的认识和观察的不断深入的特点。然而，人们的认识能力总是有限的，数学的严格化只能是相对的；随着科技的发展，数学理论总需要进一步的严格和拓展。数学发展史表明：严格化只能是相对的，而且是一个曲折的过程：

一、原始人通过生产实践逐渐形成了数的概念，这种概念是原始人的朦胧识别事物能力的一个重大升华。原始人用一些符号来标志数字，借以反映量的多少。这种具体的表示方法可以视为数学的原始严格化。随着人类的发展，人类能够进行简单的数学运算：有的可以有精确的结果；有的只能是近似的，例如美索不达米亚人创造的程序化算法以及巴比伦人的线性内插法。这种近似数学的出现，是一种认识的近似，反映了数学严格化的相对性。数学的整个发展，都是一个近似认识的过程。

二、古希腊数学中的毕达哥拉斯学派认为任何量都可以表为两个整数之比，这是对数学的一种严格化。然而，不可公度量（无理数）的发现，反映了该学派的关于数学描述存在缺陷。后来，该学派成员欧多克斯为克服这一困难，提出了新的比例理论。这反映了数学严格化的相对性。

三、欧几里德的几何《原本》提供的公理体系是数学严格化的典型。然而，现代公理化方法揭示了《原本》存在很多缺陷和不足。其中以第五公设的研究最为突出。人们对该公设的争论和探索，最后导致了非欧几何的发现。在数学史上，这是著名的反映数学严格化的相对性的例子。非欧几何自身的发展，同样经历了严格化的过程：最早公开发表的是罗巴切夫斯基非欧几何，而后，黎曼几何的出现拓宽了前者，比前者更广泛和更严格。最后，克来因的纲领统一了几何学，但是并没有囊括今天的代数几何和微分几何；随后，希儿伯特的公理化方法提供了几何学的统一的新途径。因此，几何自身的发展体现了数学严格化的相对性。

四、牛顿的《自然哲学的数学原理》关于微积分的流数术以及莱布尼茨的微积分的创建，是一新的数学工具，是描述变化的严格理论。该理论在求曲线的切线、瞬时变化率及函数的极大极小等问题发挥重要的作用。是对笛卡尔“圆法”、巴罗“微分三角形”、沃利斯“无穷算术”的严格化。然而，其中关于无穷小量的定义是不严格的，是模棱两可的。此后，欧拉在无穷小分析中取得了重大进步。柯西为分析创建了严格的基础，对微积分的基本概念给出了明确定义。然而，柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。最后，以魏尔斯特拉斯的ε-δ语言等工作完成了分析的严格化，伴随这种严格化，产生了集合论。微积分的发展提供了一个数学严格化的相对性的重要佐证。另外，分析的严格化促使人们研究“病态函数”，这类函数通常不是黎曼可积的，这引起了如何将通常的积分概念推广到这类函数的问题。勒贝格积分的创立，使整个积分适用于病态函数和非病态函数，最终完善了积分理论。应该说，勒贝格积分的出现，仍体现了数学严格化的相对性的普遍规律。

五、数学的严格基础问题因集合论理论的形成而似乎被解决，尽管集合论相容性尚未证明。人们普遍认为，集合论严格奠定了数学的基础。然而，罗素“悖论”的提出，引起了关于数学基础问题的新的争论和探索。显然，悖论本身说明了数学基础严格化仅仅是相对的。实际上，人们为避开罗素悖论，形成了三大学派：逻辑主义；直觉主义；形式主义。这些学派极大地促进了数理逻辑的发展，其中公理化集合论、证明论、模型论和递归论构成了数理逻辑的重要内容。这些理论自身的发展仍遵循严格化是相对的规律。特别是哥德尔的不完全性定理揭示了形式化方法的局限性，带来了数学基础研究的划时代的变革。

六、数学的发展，要求更为严格的理论。然而，严格化的过程历来是相对的。这种从不严格到一定条件下的严格的过程，使得数学得以飞速发展。其他反映数学严格化的相对性的例子如：伽罗瓦的群和四元数的发现，对代数学的发展起着很大的推动作用；又如公例化概率论的发展也体现了数学严格化的相对性：最早对概率严格化的工作是伯恩斯坦和米尔斯；在博雷尔建立测度理论后，科尔莫戈罗夫的公理最终确立了概率论的基础。