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高考理数解析几何大题：安徽卷和江西卷2011~2015年

高考理数解析几何大题：安徽卷和江西卷2011~2015年

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-11-29 18:47 被阅读0次

2011年理数安徽卷题21

分值：13分
设 \lambda \gt 0，点 A 的坐标为 (1,1)，点 B 在抛物线 y=x^2 上运动，点 Q 满足 \overrightarrow{BQ} =\lambda \overrightarrow{QA}，经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P 满足 \overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP} ，求点 P 的轨迹方程.

2011年理数安徽卷题21

2011年理数江西卷题20

分值：13分

P(x_0,y_0) (x_0 \ne \pm a) 是双曲线 E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt 0, b\gt 0) 上一点，M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线PM,PN 的斜率之积为 \dfrac{1}{5}.

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足 \overrightarrow{OC} =\lambda \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}，求 \lambda 的值.

2012年理数安徽卷题20

分值：13分

如图，点 F_1(-c,0), F_2(c,0) 分别是椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0) 的左、右焦点，过点 F_1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P，过点 F_2 作直线 PF_2 的垂线交直线 x=\dfrac{a^2}{c} 于点Q.

（I）如果点 Q 的坐标是 (4,4), 求此时椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）证明∶直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

2012年理数安徽卷题20

2012年理数江西卷题20

分值：13分

已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1) , 曲线 C 上任意一点 M(x,y) 满足 | \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} | = \overrightarrow{OM} \cdot ( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow {OB} ) +2.

（1）求曲线 C 的方程；

（2）动点 Q(x_0,y_0)\;(-2 \lt x_0 \lt 2) 在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l.

问：是否存在定点 P(0,t) (t \lt 0) ，使得 l 与 PA,PB 都相交，交点分别为 D,E, 且 \triangle QAB 与 \triangle PDE 的面积之比是常数? 若存在，求 t 的值. 若不存在，说明理由.

2013年理数安徽卷题18

分值：12分
设椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{1-a^2} =1 的焦点在 x 轴上.

（I）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；

（Ⅱ）设 F_1,F_2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 F_2P 交 y 轴于点 Q，并且 F_1Q \perp F_1Q. 证明∶当 a 变化时，点 P 在某定直线上.

2013年理数江西卷题20

分值：13分

如图，椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0) 经过点 P(1,\dfrac{3}{2})，离心率 e=\dfrac{1}{2}. 直线 l 的方程为 x=4.

（1）求椭圆 C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA,PB,PM 的斜率分别为k_1,k_2,k_3. 问：是否存在常数 \lambda，使得 k_1+k_2=\lambda k_3? 若存在，求 \lambda 的值；若不存在，说明理由.

2013年理数江西卷题20

2014年理数安徽卷题19

分值：13分

如图,已知两条抛物线 E_1:y^2=2p_1x (p_1 \gt 0) 和 E_2:y^2=2p_2x(p_2 \gt 0), 过原点 O 的两条直线 l_1 和 l_2, l_1 与 E_1,E_2 分别交于 A_1,A_2 两点, l_2 与 E_1,E_2 分别交于 B_1,B_2 两点.

（I）证明: A_1B_1//A_2B_2;
（Ⅱ）过 O 作直线 l (异于 l_1,l_2 ) 与 E_1,E_2 分别交于 C_1,C_2 两点. 记 \triangle A_1B_1C_1 与 \triangle A_2B_2C_2 的面积分别为 S_1 与 S_2, 求\dfrac{S_1}{S_2} 的值.

2014年理数安徽卷题19

2014年理数江西卷题20

分值：13分
如图, 已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0) 的右焦点为 F, 点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上, AF \perp x 轴, AB \perp OB, BF//OA( O 为坐标原点)

(1)求双曲线 C 的方程;
(2)过 C 上一点 P(x_0,y_0)(y_0 \ne 0) 的直线 l:\dfrac{x_0x}{a^2}- y_0y=1 与直线 AF 相交于点 M, 与直线 x=\dfrac{3}{2} 相交于点 N.

证明：当点 P 在 C 上移动时 \dfrac{|MF|}{|NF|} 恒为定值, 并求此定值.

2014年理数江西卷题20

2015年理数安徽卷题20

分值：13分

设椭圆 E 的方程为 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0) , 点 O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (a,0), 点 B 的坐标为 (0,b), 点 M 在线段 AB上, 满足 |BM| = 2|MA|, 直线 OM 的斜率为 \dfrac{\sqrt{5}}{10}.
（I）求 E 的离心率 e;
（Ⅱ）设点 C 的坐标为 (0,-b), N 为线段 AC 的中点, 点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 \dfrac{7}{2}, 求 E 的方程.

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