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高考理数解析几何大题：福建广东辽宁卷2011年到2015年

高考理数解析几何大题：福建广东辽宁卷2011年到2015年

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-12-02 00:42 被阅读0次

2011年理数福建卷题17

分值：13分

已知直线 l:y=x+m, m \in \mathbf{R}.

（I）若以点 M(2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l'，问直线 l' 与抛物线 C:x^2=4y 是否相切? 说明理由.

2011年理数广东卷题19

分值：14分

设圆 C 与两圆 (x+\sqrt{5})^2+y^2=4, (x-\sqrt{5})^2+y^2=4 中的一个内切，另一个外切.

（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程；

（2）已知点 M(\dfrac{3\sqrt{5}}{5},\dfrac{4\sqrt{5}}{5}),\;F(\sqrt{5},0)，且 P 为 L 上动点，求 |\,|MP|-|FP|\, | 的最大值及此时点 P 的坐标.

2011年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，已知椭圆 C_1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上，椭圆 C_2 的短轴为 MN，且 C_1,C_2 的离心率都为 e，直线 l \perp MN，l 与 C_1 交于两点，与 C_2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

（I）设 e=\dfrac{1}{2}，求 |BC| 与 |AD| 的 比值；

（Ⅱ）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO//AN，并说明理由.

2011年理数辽宁卷题20

2012年理数福建卷题19

分值：13分

如图，椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0) 的左焦点为 F_1，右焦点为 F_2，离心率 e=\dfrac{1}{2} , 过 F_1 的直线交椭圆于 A、B 两点，且 \triangle ABF_2 的周长为 8.

（I）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相交于点 Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M? 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.

2012年理数福建卷题19

2012年理数广东卷题20

分值：14分

在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0) 的离心率 e=\sqrt{\dfrac{2}{3}}, 且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2) 的距离的最大值为 3.

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M(m,n)M（m，n），使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x^2+y^2=1 相交于不同的两点 A、B, 且 \triangle OAB 的面积最大? 若存在，求出点 M 的坐标及对应的 \triangle OAB 的面积；若不存在，请说明理由.

2012年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，椭圆 C_0: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0,a,b 为常数 ), 动圆 C_1:x^2+y^2=t^2_1, b \lt t_1 \lt a . 点 A_1,A_2 分别为 C_0 的左，右顶点，C_1 与 C_0 相交于 A,B,C,D 四点.

（I）求直线 AA_1 与直线 A_2B 交点 M 的轨迹方程；

（Ⅱ）设动圆 C_2:x^2+y^2=t^2_2 与 C_0 相交于A',B',C',D' 四点，其中 b<t_2<a, t_1 \ne t_2, 若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等，证明：t^2_1+t^2_2 为定值.

2012年理数辽宁卷题20

2013年理数福建卷题18

分值：13分

如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (10,0), 点 C 的坐标为 (0,10). 分别将线段 OA 和 AB 十等分, 分点分别记为 A_1,A_2,\cdots,A_9 和 B_1,B_2,\cdots,B_9 , 连接 OB_i, 过 A_i 作 x 轴的垂线与 OB_i 交于点 P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9)

（Ⅰ）求证： 点 P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线 E 的方程；

（Ⅱ）过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M,N, 若 \triangle OCM 与 \triangle OCN 的面积比为 4:1, 求直线 l 的方程.

2013年理数福建卷题18

2013年理数广东卷题20

分值：14分

已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F(0,c)(c \gt 0) 到直线 l:x-y-2=0 的距离为 \dfrac{3\sqrt{2}}{2}. 设 P 为直线 l 上的点, 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB, 其中 A,B 为切点.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)当点 P(x_0,y_0) 为直线 l 上的定点时, 求直线 AB 的方程;
(3)当点 P 在直线 l上移动时,求 |AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图, 抛物线 C_1:x^2=4y, C_2:x^2=-2py(p \gt 0) . 点 M(x_0,y_0) 在抛物线 C_2上, 过 M 作 C_1 的切线, 切点为 A,B ( M 为原点 O 时, A,B 重合于O ). 当 x_0=1-\sqrt{2} 时, 切线 MA 的斜率为 -\dfrac{1}{2}.
（I）求 p 的值;
（Ⅱ）当 M 在 C_2 上运动时, 求线段 AB 中点 N 的轨迹方程( A,B 重合于 O 时,中点为 O).

2013年理数辽宁卷题20

2014年理数福建卷题19

分值：13分

已知双曲线 E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0) 的两条渐近线分别为 l_1:y=2x, l_2:y=-2x.

（I）求双曲线 E 的离心率；
（Ⅱ）如图, O 为坐标原点, 动直线 l 分别交直线 l_1,l_2 于 A,B 两点( A,B 分别在第一、四象限),且 \triangle OAB 的面积恒为 8. 试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E? 若存在, 求出双曲线 E 的方程；若不存在, 说明理由.

2014年理数福建卷题19

2014年理科数学广东卷题20

分值：14分

已知椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的一个焦点为 (\sqrt{5},0)，离心率为 \dfrac{\sqrt{5}}{3}.

（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）若动点 P(x_0,y_0) 为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

2014年理数辽宁卷题20

分值：12分

圆 x^2+y^2=4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 P (如图). 双曲线 C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1 过点 P 且离心率为 \sqrt{3}.

（I）求 C 的方程；
（Ⅱ）椭圆 C_2 过点 P 且与 C_1 有相同的焦点, 直线 l 过 C_2 的右焦点且与 C_2 交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆过点 P, 求 l 的方程.

2014年理数辽宁卷题20

2015年理数福建卷题18

分值：13分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0) 过点 (0,\sqrt{2}) ，且离心率 e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

（I）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）设直线 l:x=my-1(m \in \mathbf{R}) 交椭圆 E 于 A,B 两点，判断点 G(-\dfrac{9}{4},0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

2015年理数福建卷题18

2015年理科数学广东卷题20

分值：14分

已知过原点的动直线 l 与圆 C_1∶x^2+y^2-6x+5=0 相交于不同的两点 A，B.
（1）求圆 C_1 的圆心坐标;
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;
（3）是否存在实数 k，使得直线 L∶y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点? 若存在，求出 k 的取值范围; 若不存在，说明理由.

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