数学思想方法揭秘-28后记13(原创)

作者: 道悅 | 来源:发表于2020-04-28 16:22 被阅读0次

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这篇讲估算思想，估算是根据具体条件和有关知识对事物的数量或计算的结果做出估计或大概的推断(粗略的计算)，是介于定量和定性之间的思想方法。

估算在日常生活中应用广泛。我们用手掂量物品大致重量就属于估算，估算在计算机数值计算中也有运用。在测量条件有限或无法及时获得准确值或只需要知道大致的数量范围(够用)情况下，一般通过目测、感觉、经验或粗略测量或粗略计算来得到物体在某些方面的大概数值或范围区间，例如物体的大概重量，或大致的长度、距离、面积等。

在数学解题中，估算也有很多用武之地。数学并不只有严格精确性、确定性、形式化、公式化的理论方法，前面的文章中也讲过，还有很多实验方法，例如归纳、猜想、估算。

使用估算来解题，在今日头条”数学之道”有几道题就有运用。不等式中的放缩法就体现了估算思想，有些开方运算、比较大小也会用到估算，因式分解中的试根法和估算也有些关系，虽然严格来说属于试算。这里再补充几例估算的运用示例。

第1题. (初中题)已知 $n$ 为正整数，且 $n^4+6n^2-15n-3为完全平方数，求n的值。$

解：

当n=1时， $n^4+6n^2-15n-3为负数；当n\geq 2时为正数$ ，因为

$n^4+6n^2-15n-3 \geq 4n^2+6n^2-15n-3= 10n^2-15n-3,$

该二次函数对称轴为 $\frac{3}{4}$ ,故在 $n\geq 2 时递增，且n=2时10n^2-15n-3 >0$ 。

这里的不等式放缩和n=2时的计算就是对 $n\geq 2的情况在进行估算，下面的解题步骤还会继续使用估算。$

$n^4+6n^2-15n-3$ 不能配成平方的形式，所以我们想到用估算法，如下。

$在n\geq 2情况下，n^4+6n^2-15n-3式子中的n^4$ 是最关键最重要的对象，从平方数联想到逆运算：开方和平方根，显然可以合理猜测估值 $n^4+6n^2-15n-3$ 的平方根在 $n^2$ 左右，继续进一步估算根的上下限。

$n^4+6n^2-15n-3=（n^2+3)^2-15n-12$ ,故平方根必 $\leq$ $n^2+2$ （平方根上限）。

$(n^2-2)^2-(n^4+6n^2-15n-3)=$ $-10n^2+15n+3$ , 易知该二次函数在 $n\geq 2$ 时恒 $<$ 0,故平方根下限为 $n^2 -1$ 。

根据上下限，结合类似分类讨论的形式进行定点试算。

$(n^2 -1)^2 =$ $n^4+6n^2-15n-3$ ,无整数解；

$(n^2)^2= n^4+6n^2-15n-3$ ，无整数解；

$(n^2+1)^2= n^4+6n^2-15n-3$ ，解得 $n=4$ ;

$(n^2+2)^2= n^4+6n^2-15n-3$ ，无整数解。

故n=4.

第2题.已知a、b均为正整数，且 $\frac{a^2+ab+1}{b^2+ab+1 } 为整数，证明：a=b$ 。

思维过程如下。

依题意，令 $\frac{a^2+ab+1}{b^2+ab+1 }=t，t为\geq 1的整数。$ 可得：

$a^2+(1-t)ba-tb^2-t+1=0 (关于a的二次方程）$ 。这个方程要有正整数根，按照二次方程的惯用法(判别式法)和条件，必有判别式大于等于0.

先用判别式法计算一下， $\Delta$ = $(1-t)^2b^2-4(-tb^2-t+1)=$

$(1+t)^2b^2 +4t-4$ $\geq 0$ 。显然这个判别式恒大于0，所以用判别式 $\geq$ 0这个条件无作用，得不出有用的结论。

要一计不成再生一计，方程系数均为整数，要有正整数根，故必要条件是判别式为平方数。故令 $(1+t)^2b^2 +4t-4 = m^2$ ，m为 $\geq (1+t)b$ 的正整数。进行变形可得

$4(t-1) = [m-(1+t)b][m+(1+t)b]$ 1)

m-(1+t)b = $\frac{4(t-1)}{m+(1+t)b}$ $\geq 0的整数$ ，又 $\frac{4(t-1)}{m+(1+t)b} \leq \frac{4(t-1)}{(1+t)b+(1+t)b}=\frac{2(t-1)}{(t+1)b}$ $\leq \frac{2(t-1)}{t+1} <2$

故m-(1+t)b=0或1。

当m-(1+t)b=1时，必有b=1(当b $\geq 2时$ $\frac{2(t-1)}{(t+1)b} <1$ ,m-(1+t)b不可能等于1)，故m=t+2。

将b=1,m=t+2代入1）可得 $t=\frac{7}{2}$ ,与t为正整数矛盾，故m-(1+t)b不等于1.

故必有m-(1+t)b=0，由1）可得t=1，故a=b。

在数学解题中，通过估算可以大大缩小目标的取值区间范围或可能的取值集合，第一题是先估算平方根的大致值 $n^2$ (可以把它理解为中心点)，再估算出相对中心点 $n^2$ 的区间范围(上下限，正负调节增减，例如 $n^2-1、n^2+1$ )，在缩小范围的基础上，我们再有的放矢，聚焦于小范围进行相关的讨论和运算。在一些数学解题中，估算是必不可少的方法，例如上面的两道题，估算是开路先锋，通过估算缩小目标取值范围，逐步清晰和细化目标的取值，没有估算就很难得出上面两道题中的n和t的准确值，因为没有估算，我们只能针对目标的无穷集合(对一题就是正整数集合)进行讨论计算，就像在茫茫人海中没有过滤筛选，直接找少数几个人，这显然是不可行的或非常低效的。