平行四边形面积之难

    自主性的学习是以学习者已有知识或经验为基础的，这样的知识、经验对新内容的学习可能产生积极的正面作用，也可能产生消极的负面作用。下面以“平行四边形”为例进行分析。

    一、貌似容易

    在数学课中，与平行四边形最接近已有知识经验的是“长方形”。从形式上看，都是四边形；从特征上看，都满足“对边平行且相等”。所以给别人第一感觉好像这个内容的学习并不难。

    事实上貌似容易的内容往往蕴含着更大的困难。难就难在张方形面积公式“长×宽”，直观上看就是相邻两边长度的乘积。而平行四边形与长方形在形式上相近、相像，大多数同学会基于长方形的经验，自然而然会这样想：平行四边形面积应当是相邻两边长度的乘积。这是学生在该年龄段中普遍存在的认知差，其实这样差异就是平行四边形的一个重难点。

    二、透视的眼光

  透视的眼光指由表及里地看待事物，不仅关注表面，而且能透视出感官所观察不到的内容。

    在长方形中，长度和宽度一旦确定，图形形状以及面积大小也随之确定。但是平行四边形并不具备这样的确定性，两个平行四边形，对应长度都是相等的，但其形状和面积大小都有差异。所以不能用相邻两边长度的乘积来计算平行四边形的面积。

    另外，长方形的面积与一条边长成正比例，即长方形一天边长扩大为原来的几倍，另外一条边长不变，，那么面积也随之扩大为原来的几倍。而平行四边形中，有两个宽度相同的平行四边形，另外一条边不同，即cd 大于ab ，但是它们两个平行四边形的面积相等。也就是说，平行四边形的一条边长增加，其面积可以不变，甚至可能减少。说明了平行四边形面积大小并不由边的长短所确定，平行四边形的面积不能用相邻两边长度乘积。

    三、关联的眼光

    等底等高的平行四边形和长方形面积有什么关系呢？我们除了书本上讲的通过剪拼和移补的方法外，我们还可以用“转换推理”的方法，通过转换推理，可以得出结论：任意两个图形只要符合高度和宽度相等的条件，面积都是相等的。

    四、直观感知微积分

    这里要讲到牛顿的“流数”和“流量”，固定的长度是这个运动过程中的流数，运动轨迹所留下的面就是它的面积。在小学数学中关于长度、面积、体积的内容，蕴含着牛顿流数法中“运动”和“积累”的思想，这应该让学生去感悟的内容。

    平行四边形面积的学习，不仅是公式的推导和应用，还应让学生经历与已有经验中的长方形进行比较的过程。在这个过程中，学生就会经历、用透视的眼光、关联的眼光和运动的眼光来看待事物的过程。