有一天看到一位博主发了这么一条脑洞动态：如果你拿出一把尺子，把手指从3.1cm处移动到3.2cm处，那么你的指尖会在某一个时刻刚好划过圆周率π。

那么这是真的吗？今天我们就来研究一下这个问题。

π有什么特征

首先我们来认识一下π吧，它是圆周率，是一个无理数，更是一个超越数。无理数就是无限不循环小数，而超越数就是指它不可能成为一个由有理数组成的方程的解；比如√2，它就是一个无理数但不是一个超越数，因为它是方程x²=2的解。注意！这些结论都是经过了严密的数学证明的，并不是因为人类到现在还没有算出来π的最后一位就稀里糊涂地认为它“无限不循环”。现在人类计算π的方法虽然已经更新了很多代，但是依然还是使用的“无穷级数”的算法，你可以理解为一个按一定规律排下去的无限长的算式，你每多算一点精度就会增加一点。

那么有关于π，我们需要提取出的最重要的一条信息就是它的“无限”，这个概念意味着当你抚摸尺子的时候，你的手需要触摸到一个无限精确的位置，这样才能满足上面这个脑洞。

无限的精度可以达成吗

其实早在古希腊，哲学家们对有关极限的问题就有了一些深入的思考，比如有一位叫芝诺大佬，他就提出了一个名为“阿喀琉斯追乌龟”的问题，他对大家说：我发现大英雄阿喀琉斯永远追不上一只乌龟。

唯一的弱点是脚后跟的哥们

这个阿喀琉斯大概就像我们中国神话里的小哪吒一样，是比较神通广大的一个半神英雄，那芝诺为啥说英雄跑不过乌龟呢？他是这么分析的：我假设阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍（这个英雄好像跑的也不怎么快啊）。他和乌龟的距离大概是100米，那么当阿喀琉斯跑完100米，乌龟就会跑1米，那么阿喀琉斯为了追上乌龟，就会跑完这1米，但同时乌龟也会跑出1cm，当阿喀琉斯跑完这1cm后，乌龟又会跑上100微米……如此一来，就永远没有追上的那一天。

大概就是这么追乌龟的

就这样……

听完之后你是不是有一种奇异的感觉，就是明明知道这个结论是错的，但是却不知道该如何批判，或者说找不到角度去批判。如果是在现场，你脱口而出的很可能是这一句：“你这就是在瞎扯淡！和你这种人我没法继续聊下去了”。

科学的精神之一，就是无论多么不合理的事情，都一定要给出“理”和“据”，所以我们必须得找到问题的根源才行。而非常有意思的一件事就是，芝诺一生的对手德谟克里特，正是古典原子说的创立者，他与芝诺的思想也是针锋相对的，我们可以从他的原子说里一窥他对于这类问题给出了怎样的答案。

原子的存在对于我们现代人来说是一个基本知识，但是对于几千年前的古希腊人来说，则是一个非常神奇且深刻的哲学问题，因为他们没有通过观察来认识微观世界的可能性，所以只能用“空想”的方式去寻找答案（这也就是哲学在世界早期的巨大贡献之一，现在哲学的大部分功能都已经被科学替代了）。当时关于这个问题大家的普遍认识都是“物质是可以无限分割的”，这一点在《庄子·天下篇》中表达了同样的意思：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

他在用思想分割物体！

但是德谟克里特很显然并不是这么认为的，他说：

如果物质是无限可分的，那么如果我们把一块小东西不断地分割，那么最终我们会得到什么呢？是很多有维度的小颗粒吗（也就是有体积）？很明显只要有维度，那它就可以继续分割，所以我们要一直分割下去，一直到只剩下很多没有维度的点（也就是几何中点的概念，没有体积和面积的东西）。好的，现在我们要把它们再捏起来，那么多少点能产生维度呢？2个？3个？千个？万个？……不，没有维度的东西无论怎么累积都不会有维度，就像无论多少个0相加永远也只能是0一样。

所以，德谟克里特得出结论，物质一定不是可以无限分割的，它一定有一个不能分割的最小维度，他用希腊语中的“不可分割”（átomos）来给它起名，就是我们现在翻译的“原子”（atom）。

量子力学的回答

所以当我们用这样一个思想再去审视“阿喀琉斯追乌龟”的问题就会发现，如果空间也和物质一样不是无限可分的，那么终于会有一个瞬间阿喀琉斯会和乌龟同时跑过这个“最小的长度”，然后阿喀琉斯就会轻松地将乌龟甩在身后，这样芝诺的难题也就不攻自破了。

这张图其实是误导，电子是极小极小的，也不会像行星一样运动

那么到底有没有这么一个最小的尺度呢？答案是必然的，这正是现在物理学最先进，最前沿的研究领域“量子力学”所管辖的范围。量子力学的研究核心，就是一切物理现象的最小单位的规律。所谓“量子”就是指只能用“个”来计量的最基本的粒子，比如电子，它就是电荷的最小单位，这世界上不存在半个电子那么多的电荷，所以电子就是一种量子。

这样我们再看看德谟克里特的古典原子理论，就会发现他据说的“原子”其实应该是“量子”，只有量子才是真正的“不可分割”。同样，如果说粒子存在最小的单位，那么时间和空间也没理由是无限可分的，量子力学的创始人之一普朗克给出了答案：普朗克时间和普朗克长度。它俩就是物理学意义上真正的最短的时间和最短的长度，分别是10的-43次方秒和10的-35次方米。

普朗克的颜值之迷

现实世界离不开数数

那普朗克是怎么算出来这么一个数值的呢？这就需要我们把思想的小船驶回现实世界，让我来思考一个问题：你如何知道一个现实世界中的信息，比如桌子上有多少粒瓜子？答案其实非常简单，数一数不就知道了嘛。那有没有什么别的方法可以让我们知道瓜子的数量？其实没有，即使是别人告诉你的，也一定是有人（或者其他什么可以计数的东西）数过。所以我们得到了一个看似废话的事实：一个东西要想证明其存在，就必须要有“可数性”。

光子是啥形状谁也说不清，我们只知道它不是彼此连着的

为什么要强调这一点？那自然就是因为“可数性”也是不一定存在的。在极小的尺度上，我们要认识一个粒子，就必须要用一个光子来撞击它，但是光子有一个特征，就是能量越高精度就越高，但是能量又不可以无限地高下去，当高到某一个极大值时，它就会立即成为一个极小的黑洞，把那里的空间给摧毁。而这个成为黑洞前的极限能量光子所拥有的精度就是普朗克长度，光走过普朗克长度所消耗的时间就是普朗克时间。

一切皆有限

不能测量等于不存在吗？现在并没有什么证据能证明空间是不连续的，但是任何现实世界的所有物理规律（包括信息量）都指向“一切都是有限的”。我们想象一下，在一个没有空气的异世界地球上生存着很多奇怪生物，这些生物想要知道最高到底有多高，那么他们只能用爬山的方式，但是地球的重力决定了最高的山也不可以超过10000米，那这10000米就并不仅仅是测量的最高高度，也是异世界“实际真实存在”的最高高度。

所以以上内容中的“测量”并不是真正意义上受限于人类能力的“测量行为”，而是计算得到的理论上限，事实上人类还没法造出一枚足以当场毁掉空间的光子。就像地球的最高峰无法超过10000米一样，这是由地球的重力加速度决定的，我们并不需要把山真的堆到10000米才能得出“山的高度是有极限的”这一结论。

站在最高峰上，大地看上去也会露出圆形

“一切都是有限的”这一结论解决了哲学上有关宇宙的一切悖论。以前人们认为宇宙是无限的空间+无限的时间。而现在我们已经知道，宇宙的大小是有限的（有限而无界），而宇宙的寿命也没比太阳长几倍。同时我们也知道一切都不是无限可分的，时间和空间你或许可以认为是拥有无限精度的（也就是所谓的连续性，当然这同样没有证据支持），但是它们绝对不是无限可分的。电子的直径是普朗克长度的十亿倍，我们都没有找到任何电子是可以分割的证据，人类有关量子的研究可能进入了就快要触碰到天花板的高度了。

无限的概念，只能存在于人的脑子里，某些意义来说，这比一整个宇宙还要伟大

你摸不到π

现在让我们再回到一开始的问题，你的指尖可以触碰到π吗，当然不行，因为至少你的手指没有无限的精度，它只会在一个比π小一点点和比π大一点点的区间里“跳跃”而过，π这个无限的数字只能永远存在于人类（或是任何有智慧的个体）的想象之中。

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