数学上同样的数，写出来越简洁，越容易被人理解，这个写法也就越“好”。计算的本质，就是把一个不容易理解的式子，变成一个能一目了然的式子。
1）离散和抽象
数学很重要的特点，它是精确的。在学会数数之前，你得知道两个思想：离散与抽象。离散就是要把原来连在一起的东西给它分开，离散就是数数的基础。而把不一样的东西抽象成一样东西，这也是数数的基础。
离散和抽象不仅是数数的基础，还是我们人类思考世界的基石。它们可以把原本连成一片，看起来很复杂的东西变得简单、变得容易分析。从时间长河的例子上说明了，当我们用离散的思想去分析世界的时候，会对这个世界产生歪曲。把世界看成一体的思想，缺点就是：没有办法把这个世界精确地描述出来。
为什么？原因是人类语言的基础是定义。
我们中国古人连续的思想，是没有办法用准确的语言表达出来的，也就是有理也说不清楚。离散的思想会歪曲这个世界，但是只有借助离散的思想，我们才能够准确的表达自己的观点。王国维说过一句话，叫可爱者不可信，可信者不可爱。艺术是美的、是可爱的，但它不能用语言精确表达出来，所以它不可信。而数学通过牺牲了可爱，它换来了另一个优点，就是可信、精确。
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2）等于
人类在最早没有理性思维的时候，对这个世界的认识是混沌一团的，是模模糊糊的。而比较时人类产生理性思维的一个前提，比较就是在发现这两个东西之间的相同和不同，相同放到数学里就是等于。
数学里的等号不是凭空规定出来的，它是我们用比较的眼光去看待这个世界后，自然而然的结果。人类在开始比较之前，还有一件事要做，就是决定哪些属性是关键的，是需要比较的；哪些属性不重要，不需要比较。
数学里的等号是来源于比较，而比较的前提是先确定哪些东西最重要，其实数学里的等号有特别大的权利。
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3）公理、定理、推理、演绎
人类能够想到的无穷大，其实都是想要多少就有多少。
在数学里面是接触不到因果关系的，我们学过的绝大多数的数学知识研究都是演绎推理，其特点就是推理过程是严谨的。而演绎推理的本质就是改变了真理的表现形式，它并没有创造新的真理。辩论其实就是利用演绎推理的方法，替对方变换真理的表现形式，得到一些对方原本没有意识到的结论。
公理不是绝对正确的，但是有一些人相信它是绝对正确的，这个东西叫做公理。公理又可以看成是一套游戏规则，你只有跟我使用同一套规则，我才能跟你一块玩。
定理就是通过演绎、推理，从公理中推导出来的规律。一个公理系统最基本的要求是保持逻辑自洽，还必须帮助我们解决生活中的问题。
4）模型
模型就是我们总结出来的关于某些事情的模式或者规律。从一个现实问题中筛选出一些关键的信息，用一个规律描述出这些信息之间的关系，这个抽象的顾虑就叫做模型。建模第一步，去掉那些无关的信息，抓住最关键的信息。选择数学模型也是看方便不方便。
知道了一件事情的结果，我们想知道引起这件事情的原因，需要给结论找个合理的解释，这个思考过程就叫做溯因推理。演绎推理是绝对严谨的，而溯因推理有猜测的成分，可可能猜错。
几何学就是用来描述空间的数学模型。一个图形对我们来说多大不重要，重要的是它的形状和结构。一个汉字它代表了什么意思，这个信息不是存储在字的大小里，而是存储在字的结构里。
分形的意思就是有这么一种图形，它的细节有无数多，当我们观测得越精细的时候，就可以从中看到越多的细节。
力是物理学创造出来的，用来描述物体之间互相作用的概念。科学也可以看成是解决现实问题的模型。
5）应用
在现实里面，只要总结的是普遍规律，那用的一定是归纳法。
因果关系是，我们相信一个事情的发生一定会导致一个结果，而且前面那个事情的发生必然会导致后面的结果，就说这两件事之间存在着因果关系。因果关系决定了我们如何看待这个世界，决定了我们的世界观，只有建立正确的世界观，才知道应该怎么去改造这个世界。
人类在文明发展的过程中，是在不断去细化每一个定义的边界。课本要尽量用严格的语言，来说清楚每一个概念的边界。物理课为什么要有大量的数学公式，原因之一就是，数学是人类所有语言中边界最清晰的。
函数其实反映出来的还是不变的、确定性的东西，表达的是量和量之间的确定性关系。当我们关注量和量之间关系的时候，更容易发现一个事情的内在规律，或者发现一个问题的本质。
钱就是社会用来衡量每个成员贡献大小的数学模型。
整个现代社会的工业精度提高了，我们今天才会使用和古人不一样的长度和时间单位。
我们只要左手拿着牛顿，右手拿着数学，我们不仅能拥有整个宇宙，还可以拥有所有时间。
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