Hello Kitty 的种族问题
Hello Kitty，一只以无嘴造型40年来风靡全球的萌萌猫，在其40岁生日时，居然被其形象拥有者宣称：Hello Kitty 不是猫！
2014年8月，研究 Hello Kitty 多年的人类学家 Christine R. Yano 在写展品解说时，却被 Hello Kitty 持有商三丽鸥纠正：Hello Kitty 是一个卡通人物，她是一个小女孩，是一位朋友，但她“绝不”是一只猫。
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粉了快半个世纪的世界萌猫，你说是人就是人啦？！就算是形象持有者，也没权利下这个定论啊!
谁有权认定 Hello Kitty 是人是猫呢？我们把裁决权交给世界上最公正无私的裁判—— 计算机。让机器来决定。
机器如何具备区分一个形象属于哪个物种的知识呢？让它学习呀！机器是可以学习的。我们用计算机编个程序，再输入一堆数据，等着这个程序运行一个算法来处理这些数据。最后，我们需要的结论就显示在屏幕上啦。就是这么简单！
那么来看看我们需要的数据和算法吧。
训练数据
如下图所示，左边一堆是一群小女孩，右边一堆是一群猫。
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特征选取
我们提取七个特征，用来判断一个形象，是人是猫。这七个特征包括：有否蝴蝶结；是否穿衣服；是否高过5个苹果；是否有胡子；是否圆脸；是否有猫耳朵；是否两脚走路。
用一个表格来表现这七个特征则，如下图所示（第一列为 Label，第2至8列为7个特征，每个特征只有两个取值，Yes 或者 No）：
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<center style="font-size: 16px; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-size-adjust: auto; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration: none; box-sizing: border-box; caret-color: rgb(63, 63, 63); color: rgb(63, 63, 63); font-family: "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei"; outline: 0px !important;">Table-1</center>
用 ID3 算法构造分类树
本例中，我们选用最简单的 ID3 算法，代入数据进行计算。
(1)根据信息熵的概念，我们先来计算 Entropy(S)。因为总共只有两个类别：人和猫，因此 n==2。
Entropy(S)=−∑ni=1pilog(pi)=−pGirllog(pGirl)−pCatlog(pCat)=−9/17⋅log(9/17)−8/17⋅log(8/17)=0.69
(2)然后我们再分别计算各个特征的：
Entropy(S|T)=∑value(T)|Sv||S|Entropy(Sv)
因为无论哪个特征，都只有两个特征值：Yes 或者 No，因此 value(T) 总共只有两个取值。
下面以“Has a bow”为例来示意其计算过程。
Entropy(S|HasABow)=pYes(−p(Girl|Yes)log(p(Girl|Yes))–p(Cat|Yes)log(p(Cat|Yes)))+pNo(−p(Girl|No)log(p(Girl|No))–p(Cat|No)log(p(Cat|No)))=8/17⋅(−4/8⋅log(4/8)–4/8⋅log(4/8))+9/17⋅(−5/9⋅log(5/9)–4/9⋅log(4/9))=0.69
InformationGain(T)=Entropy(S)−∑value(T)|Sv||S|Entropy(Sv)
依次计算其他几项，得出如下结果：
(3)进一步计算，得出 InfoGain(Has cat ears) 最大，因此“Has cat ears”是第一个分裂节点。
而从这一特征对应的类别也可以看出，所有特征值为 No 的都一定是 Girl；特征值为 Yes，可能是 Girl 也可能是 Cat，那么第一次分裂，我们得出如下结果：
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现在“Has cat ears”已经成为了分裂点，则下一步将其排除，用剩下的6个 Feature 继续分裂成树：
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<center style="font-size: 16px; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-size-adjust: auto; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration: none; box-sizing: border-box; caret-color: rgb(63, 63, 63); color: rgb(63, 63, 63); font-family: "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei"; outline: 0px !important;">Table-2</center>
Table-2 为第二次分裂所使用的训练数据，相对于 Table-1，“Has cat ears”列，和前7行对应“Has cat ears”为 No 的数据都已经被移除，剩下部分用于第二次分裂。
如此反复迭代，最后使得7个特征都成为分裂点。
需要注意的是，如果某个特征被选为当前轮的分裂点，但是它在现存数据中只有一个值，另一个值对应的记录为空，则这个时候针对不存在的特征值，将它标记为该特征在所有训练数据中所占比例最大的类型。
对本例而言，当我们将“Wear Clothes”作为分裂点时，会发现该特征只剩下了一个选项——Yes（如下 Table-3 所示）。此时怎么给“Wear Clothes”为 No 的分支做标记呢？
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<center style="font-size: 16px; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-size-adjust: auto; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration: none; box-sizing: border-box; caret-color: rgb(63, 63, 63); color: rgb(63, 63, 63); font-family: "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei"; outline: 0px !important;">Table-3</center>
这时就要看在 Table-1 中，“Wear Clothes”为 No 的记录中是 Girl 多还是 Cat 多。一目了然，在 Table-1 中这两种记录数量为 0:6，因此“Wear Clothes”为 No 的分支直接标志成 Cat。
根据上述方法，最终我们构建出了如下决策树：
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决策树构建过程，如下代码所示：
后剪枝优化决策树
决策树剪枝
剪枝是优化决策树的常用手段。剪枝方法大致可以分为两类：
- 先剪枝（局部剪枝）：在构造过程中，当某个节点满足剪枝条件，则直接停止此分支的构造；
- 后剪枝（全局剪枝）：先构造完成完整的决策树，再通过某些条件遍历树进行剪枝。
后剪枝优化 Hello Kitty 树
现在，决策树已经构造完成，所以我们采用后剪枝法，对上面决策树进行修剪。
如图中显示，最后两个分裂点“Has round face”和“Has a bow”存在并无意义——想想也是啊，无论人猫，都有可能是圆脸，也都可以戴蝴蝶结啊。
所以我们遍历所有节点，将没有区分作用的节点删除。完成后，我们的决策树变成了下面这样：
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用决策树对 Hello Kitty 进行分类
我们将 Hello Kitty 的特征带入 Cat-Girl 决策树，发现 Hello Kitty：Has cat ears: Yes -> Walk on 2 feet: Yes -> Wear Clothes: Yes -> Has whiskers: Yes -> Less than 5 apples: Yes -> Cat。
Bingo! Hello Kitty 是只猫！这是我们的 ID3 决策树告诉我们的！
代码实现
下面的代码就是用 numpy 和 sklearn 来实现例子中的训练分类树来判断 Hello Kitty 种族所对应的程序。
最后输出为：
[1 1 0 0]
0.75
[0]
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