理想的运算一直都是让人感觉莫名其妙，但是仔细查看也会发现一些规律。他是环中元素因式分解的结果，也就是整数环里面的素数分解，所以，他依然和环的性质关系密切，对于性质很好的环，比如整数环，就是初等数论的翻版，最大公约数，最小公倍数，唯一分解。而对于不那么好的环，比如戴德金环，戴德金环其实是整数环的推广，代数整数环，也就是对整数环进行了扩张，然后取代数整数闭包，保留了大量的整数性质，又引入了更一般的性质。所以也可以做算术。
明白了这一点，就能看得比较顺畅了，当然证明其实用处不大，因为非常具有技巧性，在变量和公式的组合之中，看不清楚实质了。

整基，分式理想，分式理想群

整基其实就是明确的反映了戴德金环的结构，是对整数环的推广，里面包含了一些未定义元素，他们是通过环扩张引入的，就像复数单位一样，在整数环内是没有这些元素的。按照多项式环的处理方法，他们就构成了线性空间，作为空间的基，而整数环就是系数，这就和线性空间的知识联系起来了。
至于分式理想，首先需要知道分式环，或者说分式域，简单来说就是从整数构造有理数的手段，引入了分数。分式理想其实就是分式域中的理想，这些理想同样可以构成群，就是分式理想群，这样看的话，代数数论的基础是建立在理想上面的，相比于元素而言要抽象一层，就像拓扑空间中的点与开集一样，在点上构建的是连续映射，在开集上构建的就是层。或许可以称之为二阶理论。

环扩张

关于代数构造，往往会分为多个层次，然而理论一般只在同一层次建立，所以自然的就出现了代数结构链。 image.png

上面三个符号，分别是整闭整环，分式域，域扩张。下面的符号就是自然诱导出来的整闭包，扩域。
显然，上面的结构的性质发生变化，下面就会跟着变化，对于环，可以条件一些限定词，如整，整闭，诺特，主理想整，对应的诱导而出的代数结构也会伴随着一些限定词，模，有限生成模，自由模。
基的概念一般来说是用于元素表示的，所以对于有限生成和自由而言，总是存在的。
这样说可能有些迷惑，其实，代数结构都是基本结构与附加结构组成的，基本结构是满足相关代数性质的最小集合，一般来说彼此之间联系非常紧密，而附加结构则是通过生成法则添加上去的，比如环扩张，域扩张之类的方式，就会出现并列结构，是基本结构的复制，比如向量空间，就是系数域的n维复制，系数域就是基本结构。比如域扩张，是基本域围绕着新引入元素的展开。
那么看这个图，虽然各种概念很复杂，搞不清楚，但是都有其基本生成逻辑，从左到右，可以通过代数构造实现，从上到下，则是同层级结构之间的映射，所以最左侧的就是基本结构，右边的是派生结构，基本结构变化，派生结构自然变化，而上面是已知结构，下面是未知结构，所以上面的变化，下面的就会变化。这里面的可调性，反映在最左侧的已知基本结构还有结构之间的箭头，这些箭头有的是约定俗成的比如分式域的构造，方法时固定的，有的在同构下一致，比如域扩张，次数相同的时候，仅相差一个同构，同样可以认为是固定的。所以可变的就只剩下这个基本结构了。也就是限定词的变化。
这么一来，关系就很清楚了。

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人们感觉一门课程复杂，是因为抓不到重点，被各种细节分散了注意力，就比如这本书，有很多细节的东西，尤其是证明过程，破碎，精巧，难懂，可以说想要看明白非常困难，但是，正如我们日常使用的数学，往往不需要严格的推证，而仅仅为了一套解题逻辑，只要打通了这个逻辑路线，都可以进行抽象，包装成一种具体实现，然后按照说明书使用。只有在发现这些基本逻辑无法满足需要时，才会拆开来，想要彻底弄清楚。
同样，人们的思维过程也是如此，不是出于完全理解，而是出于惯性，记忆，以及熟练度，尤其是水平高的人，他们对很多基础的东西几乎都遗忘了，但是凭借熟练程度可以灵活使用高级策略，这并不是出于理性，而是信念，经过反复运用后认为不会发生异常的信念。一般来说，很有用，但是，也会出现失误的情况，那就意味着新模式的到来。
或许，这才是范畴论的目的，有序，封装，可理解，细节模糊。通过一层又一层的抽象，让人们有能力描述非常复杂的事物，并且获得一定程度的理解。这就是从零搭建与结构化的根本区别。