MIT-18.06-线性代数（第六讲）

作者: 林枫bioinfo | 来源:发表于2022-03-21 00:29 被阅读0次

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第六讲 —— 列空间和零空间

1. 子空间回顾

子空间，是向量空间内的一些向量，它们属于母空间，但自身又构成向量空间，子空间是向量空间内的向量空间。

记 $R^3$ 中穿过原点的一平面为 $P$ ，穿过原点的一直线为 $L$ ，那么 $P \cup L$ ，包含 $P$ 和 $L$ 中所有向量，这个集合是子空间吗？不是。因为加法不封闭，无法满足向量空间的条件。而 $P \cap L$ 只得到零向量，是子空间。如果不是特定直线和平面，推广到任意两子空间的交呢，这是更一般的问题，假设有子空间 $S$ 和 $T$ ， $S \cap T$ 是否为子空间？答案为是。

2. 列空间

有 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$ ，其中矩阵 $A$ 的列空间是 $R^4$ 的子空间，记作 $C(A)$ ，由所有列的线性组合构成。而这里得到的子空间，它等于整个四维空间吗？不是。把它同线性方程组联系起来，即 $Ax=b$ 是否对任意 $b$ ，都有解？以及什么样的 $b$ 使方程组有解？不是都有解，因为 $Ax=b$ 中有四个方程，却只有三个未知数，即 $Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ \end{bmatrix}$ ，而 $b$ 等于零向量时有解，更广泛而准确的说是，当且仅当右侧向量 $b$ 属于 $A$ 的列空间 $C(A)$ 时， $x$ 有解。

取矩阵 $A$ 的线性组合，这三例线性无关吗？不是。列一相当于一条直线，列二也保留，它朝另一个方向，但列三处在前两列的平面上，没有任何贡献，是“线性相关”的，因此这里矩阵的列空间可以描述为 $R^4$ 中的二维子空间。

3. 零空间

矩阵 $A$ 的零空间（Null space）不包含右侧向量 $b$ ，它包含 $Ax=0$ 中所有的解 $x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}$ ，这些 $x$ 向量包含三个分量，因此此处零空间是 $R^3$ 的子空间。对于 $m×n$ 矩阵，列空间是 $R^m$ 的子空间，零空间是 $R^n$ 的子空间。不管矩阵是什么，零空间必然包含0。对于这个特定的零空间，可以记作 $N(A)$ ，它包含 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ … $\begin{bmatrix} c \\ c \\ -c \\ \end{bmatrix}$ ，可用 $c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ 整体描述。其是一条 $R^3$ 中的穿过原点的直线。

检验 $Ax=0$ 的解构成一个子空间，这里需要证明，对于任意一个解 $v$ 和另一个解 $w$ ，它们的和仍然是解，即若 $Av=0,Aw=0$ ，那么 $A(v+w)=0$ ，根据乘法分配率有 $A(v+w)=Av+Aw=0$ ，易得，同时 $A(12v)=12(Av)=0$ ，加法和数乘都满足。